2019-2020学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.2.1 几个常用函数的导数 1.2.2 基

1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)学习目标核心素养1．能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝1x，y＝x的导数．(难点)2．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．(重点、易混点)3．能利用导数的运算法则求函数的导数．(重点、易混点)1．通过基本初等函数的导数公式、导数运算法则的学习，体现数学运算的核心素养．2．借助导数运算法则的应用，提升学生的逻辑推理核心素养.1．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝axf′(x)＝axlna(a＞0)f(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝1xlna(a＞0，且a≠1)f(x)＝lnxf′(x)＝1x2.导数的运算法则(1)和差的导数[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．(2)积的导数①[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；②[cf(x)]′＝cf′(x)．(3)商的导数fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)．1.12′等于()A．12B．1C．0D．122C[因常数的导数等于0，故选C.]2．若函数y＝10x，则y′|x＝1等于()A．110B．10C．10ln10D．110ln10C[∵y′＝10xln10，∴y′|x＝1＝10ln10.]3．(1)x2x′＝________；(2)(xex)′＝________.(1)1－xln22x(2)(1＋x)ex[(1)x2x′＝2x－x2xln22x2＝1－xln22x；(2)(xex)′＝ex＋xex＝(1＋x)ex.]4．函数f(x)＝sinx，则f′(6π)＝________.1[f′(x)＝cosx，所以f′(6π)＝1.]利用导数公式求函数的导数【例1】求下列函数的导数．(1)y＝cosπ6；(2)y＝1x5；(3)y＝x2x；(4)y＝lgx；(5)y＝5x；(6)y＝cosπ2－x.[解](1)∵y＝cosπ6＝32，∴y′＝0.(2)∵y＝1x5＝x－5，∴y′＝－5x－6.(3)∵y＝x2x＝x2x12＝x32，∴y′＝32x12.(4)∵y＝lgx，∴y′＝1xln10.(5)∵y＝5x，∴y′＝5xln5.(6)y＝cosπ2－x＝sinx，∴y′＝cosx.1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误．3．要特别注意“1x与lnx”，“ax与logax”，“sinx与cosx”的导数区别．下列结论，①(sinx)′＝cosx；②x53′＝x23；③(log3x)′＝13lnx；④(lnx)′＝1x.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个C[①(sinx)′＝cosx，正确；②x53′＝53x23，错误；③(log3x)′＝1xln3，错误；④(lnx)′＝1x，正确；所以①④正确，故选C.]利用导数的运算法则求导数[探究问题]1．如何求函数y＝tanx的导数？[提示]y＝tanx＝sinxcosx，故y′＝sinx′cosx－cosx′sinxcosx2＝cos2x＋sin2xcos2x＝1cos2x.2．如何求函数y＝2sinx2cosx2的导数？[提示]y＝2sinx2cosx2＝sinx，故y′＝cosx.【例2】求下列函数的导数．(1)y＝x－2＋x2；(2)y＝3xex－2x＋e；(3)y＝lnxx2＋1；(4)y＝x2－sinx2cosx2.[解](1)y′＝2x－2x－3.(2)y′＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.(3)y′＝x2＋1－2x2·lnxxx2＋12.(4)∵y＝x2－sinx2cosx2＝x2－12sinx，∴y′＝2x－12cosx.1．(变条件)把例2(4)的函数换成“y＝xtanx”，求其导数．[解]y′＝(x·tanx)′＝xsinxcosx′＝xsinx′cosx－xsinxcosx′cos2x＝sinx＋xcosxcosx＋xsin2xcos2x＝sinxcosx＋xcos2x.2．(变结论)求例2(3)中的函数在点(1,0)处的切线方程．[解]∵y′|x＝1＝12，∴函数y＝lnxx2＋1在点(1,0)处的切线方程为y－0＝12(x－1)，即x－2y－1＝0.1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．2．有些函数可先化简再应用公式求导，如求y＝1－2sin2x2的导数，因为y＝1－2sin2x2＝cosx，所以y′＝(cosx)′＝－sinx.3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.1．给出下列命题：①y＝ln2，则y′＝12；②y＝1x2，则y′|x＝3＝－227；③y＝2x，则y′＝2xln2；④y＝log2x，则y′＝1xln2.其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3D．4C[对于①，y′＝0，故①错；对于②，∵y′＝－2x3，∴y′|x＝3＝－227，故②正确；显然③，④正确，故选C.]2．已知f(x)＝xα(α∈Q*)，若f′(1)＝14，则α等于()A.13B.12C.18D.14D[∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1，∴f′(1)＝α＝14.]3．设y＝－2exsinx，则y′等于()A．－2excosxB．－2exsinxC．2exsinxD．－2ex(sinx＋cosx)D[∵y＝－2exsinx，∴y′＝－2exsinx－2excosx＝－2ex(sinx＋cosx)．]4．曲线y＝9x在点M(3,3)处的切线方程是________．x＋y－6＝0[∵y′＝－9x2，∴y′|x＝3＝－1，∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为y－3＝－(x－3)，即x＋y－6＝0.]5．求下列函数的导数：(1)y＝5x3；(2)y＝log2x2－log2x；(3)y＝cosxx；(4)y＝－2sinx21－2cos2x4.[解](1)y′＝(5x3)′＝x35′＝35x35－1＝35x－25＝355x2.(2)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，∴y′＝(log2x)′＝1xln2.(3)法一：y′＝1x·cosx′＝1x′cosx＋1x(cosx)′＝x－12′cosx－1xsinx＝－12x－32cosx－1xsinx＝－cosx2x3－1xsinx＝－cosx2xx－1xsinx＝－cosx＋2xsinx2xx.法二：y′＝cosxx′＝()cosx′x－cosxx′x2＝－sinx·x－cosx·12·x－12x＝－xsinx＋cosx2xx＝－cosx＋2xsinx2xx.(4)∵y＝－2sinx21－2cos2x4＝2sinx22cos2x4－1＝2sinx2cosx2＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx．