2019-2020学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.2.2 函数的和、差、积、商的导数 1.2

1.2.2函数的和、差、积、商的导数1.2.3简单复合函数的导数学习目标核心素养1.理解导数的四则运算法则，能运用运算法则求函数的导数．(重点)2．能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数．(难点)3．积函数、商函数求导公式的正确运用．(易错点)通过导数的运算及应用，提升数学运算素养.1．导数的四则运算法则设两个函数f(x)，g(x)可导，则和的导数[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)差的导数[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)积的导数[Cf(x)]′＝Cf′(x)(C为常数)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)商的导数fxgx′＝f′xgx－fxg′xg2x(g(x)≠0)2．复合函数的导数复合函数的概念由基本初等函数复合而成的函数，称为复合函数复合函数的求导法则若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝y′u·a1．函数f(x)＝sinx＋x的导数是()A．f′(x)＝cosx＋1B．f′(x)＝cosx－1C．f′(x)＝－cosx＋1D．f′(x)＝－cosx＋xA[f′(x)＝cosx＋1.选A.]2．函数y＝x2cos2x的导数为()A．y′＝2xcos2x－x2sin2xB．y′＝2xcos2x－2x2sin2xC．y′＝x2cos2x－2xsin2xD．y′＝2xcos2x＋2x2sin2xB[y′＝(x2)′cos2x＋x2(cos2x)′＝2xcos2x＋x2(－sin2x)·(2x)′＝2xcos2x－2x2sin2x.]3．函数y＝x2x＋3的导数是__________.y′＝x2＋6xx＋32[y′＝x2x＋3′＝x2′x＋3－x2·x＋3′x＋32＝2xx＋3－x2x＋32＝x2＋6xx＋32.]4．已知函数f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝____________.1[f′(x)＝2(2x＋a)(2x＋a)′＝4(2x＋a)，∴f′(2)＝4(4＋a)＝20，∴a＝1.]利用导数的运算法则求导数【例1】(1)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx(e为自然对数的底数)，则f′(e)＝________.(2)求下列函数的导数：①f(x)＝(x＋2)(x－3)；②f(x)＝lgx－3x；③f(x)＝11－x＋11＋x；④f(x)＝sinx1＋sinx.(1)－1e[f′(x)＝2f′(e)＋1x，则f′(e)＝2f′(e)＋1e.∴f′(e)＝－1e.](2)[解]①∵f(x)＝x2－x－6，∴f′(x)＝(x2－x－6)′＝2x－1.②f′(x)＝(lgx)′－(3x)′＝1xln10－3xln3.③∵f(x)＝1＋x＋1－x1－x＝21－x，∴f′(x)＝21－x′＝－21－x′1－x2＝21－x2.④∵f(x)＝sinx1＋sinx＝1－11＋sinx，∴f′(x)＝1′－11＋sinx′＝－－1＋sinx′1＋sinx2＝cosx1＋sinx2.1．解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而出错．2．对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．1．求下列函数的导数．(1)y＝x－2＋x2；(2)y＝3xex－2x＋e；(3)y＝lnxx2＋1；(4)y＝x2－sinx2cosx2.[解](1)y′＝2x－2x－3.(2)y′＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.(3)y′＝x2＋1－2x2lnxxx2＋12.(4)∵y＝x2－sinx2cosx2＝x2－12sinx，∴y′＝2x－12cosx.求简单复合函数的导数【例2】求下列函数的导数．(1)y＝e2x＋1；(2)y＝12x－13；(3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin3x.[思路探究]先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导．[解](1)函数y＝e2x＋1可看做函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数，∴y′x＝y′u·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.(2)函数y＝12x－13可看做函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，∴y′x＝y′u·ux′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4＝－6(2x－1)－4＝－62x－14.(3)函数y＝5log2(1－x)可看做函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝－5uln2＝5x－1ln2.(4)函数y＝sin3x可看做函数y＝u3和u＝sinx的复合函数，函数y＝sin3x可看作函数y＝sinv和v＝3x的复合函数．∴y′x＝(u3)′·(sinx)′＋(sinv)′·(3x)′＝3u2cosx＋3cosv＝3sin2xcosx＋3cos3x.1．解答此类问题常犯两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．2．复合函数求导的步骤2．求下列函数的导数．(1)y＝x1－1－x；(2)y＝log2(2x2－1)．[解](1)y＝x1－1－x＝x1＋1－x1－1－x1＋1－x＝x1＋1－x1－1－x＝1＋1－x.设y＝1＋u，u＝1－x，则y′＝yu′·ux′＝(1＋u)′·(1－x)′＝12u·(－1)＝－121－x.(2)设y＝log2u，u＝2x2－1，则y′＝y′u·ux′＝1uln2·4x＝4x2x2－1ln2.导数法则的综合应用[探究问题]试说明复合函数y＝(3x＋2)2的导函数是如何得出的？[提示]函数y＝(3x＋2)2可看做函数y＝u2和u＝3x＋2的复合函数，∴yx′＝yu′·ux′＝(u2)′·(3x＋2)′＝6u＝6(3x＋2)．【例3】已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若直线l与圆C：x2＋y2＝14相切，求实数a的值．[思路探究]求出导数f′(1)，写出切线方程，由直线l与圆C相切，建立方程求解．[解]因为f(1)＝a，f′(x)＝2ax＋2x－2(x2)，所以f′(1)＝2a－2，所以切线l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0.因为直线l与圆相切，所以圆心到直线l的距离等于半径，即d＝|2－a|4a－12＋1＝12，解得a＝118.若将本例中条件改为“直线l与圆C：x2＋y2＝14相交”，求a的取值范围．[解]由例题知，直线l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0.∵直线l与圆C：x2＋y2＝14相交，∴圆心到直线l的距离小于半径，即d＝|2－a|4a－12＋112，解得a118.关于复合函数导数的应用及其解决方法(1)应用：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．(2)方法：先求出复合函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，在解决此类问题时切点起着至关重要的作用．1．正确运用四则运算求导法则是求导的关键，注意[f(x)·g(x)]′与fxgx′这两个法则的区别．2．在运用法则求导时，对于复杂的函数可先化简函数解析式再求导．3．对于求复合函数的导数，要正确区分基本函数.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.()(2)已知函数y＝2sinx－cosx，则y′＝2cosx＋sinx．()(3)已知函数f(x)＝(x＋1)(x＋2)，则f′(x)＝2x＋1.()[解析](1)由f′(x)＝2x，则f(x)＝x2＋C.(2)由y＝2sinx－cosx，则y′＝(2sinx)′－(cosx)′＝2cosx＋sinx.(3)由f(x)＝(x＋1)(x＋2)＝x2＋3x＋2，所以f′(x)＝2x＋3.[答案](1)×(2)√(3)×2．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于()A．0B．－4C．－2D．2B[f′(x)＝2x＋2f′(1)．∴f′(1)＝2＋2f′(1)．即f′(1)＝－2.∴f′(0)＝2(－2)＝－4.]3．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.2[令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0,1)处的切线的斜率为f′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.因为f(x)＝eax，所以f′(x)＝(eax)′＝(eax)·(ax)′＝aeax，所以f′(0)＝ae0＝a，故a＝2.]4．求下列函数的导数．(1)y＝cos(x＋3)；(2)y＝(2x－1)3；(3)y＝e－2x＋1.[解](1)函数y＝cos(x＋3)可以看做函数y＝cosu和u＝x＋3的复合函数，由复合函数的求导法则可得yx′＝yu′·ux′＝(cosu)′·(x＋3)′＝－sinu·1＝－sinu＝－sin(x＋3)．(2)函数y＝(2x－1)3可以看做函数y＝u3和u＝2x－1的复合函数，由复合函数的求导法则可得yx′＝yu′·ux′＝(u3)′·(2x－1)′＝3u2·2＝6u2＝6(2x－1)2.(3)y′＝e－2x＋1·(－2x＋1)′＝－2e－2x＋1.