2019-2020学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 课时作业6 函

课时作业6函数的单调性与导数(1)知识点一判断函数的单调性1.函数y＝f(x)是定义在R上的可导函数，则y＝f(x)为R上的单调递增函数是f′(x)＞0的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析函数y＝f(x)在R上为单调递增函数，说明f′(x)≥0在R上恒成立，且f′(x)在R的任意子区间内都不恒等于0，推不出f′(x)＞0.根据函数单调性与导数正负的关系，由f′(x)＞0显然能推出函数y＝f(x)在R上为单调递增函数．所以函数y＝f(x)为R上的单调递增函数是f′(x)＞0的必要不充分条件．2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则()A．f′(3)＞0B．f′(3)＜0C．f′(3)＝0D．f′(3)的符号不确定答案B解析由图象可知，函数f(x)在(1,5)上单调递减，则在(1,5)上有f′(x)＜0，所以f′(3)＜0.3．如图所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断中正确的是()A．f(x)在(－3,1)上单调递增B．f(x)在(1,3)上单调递减C．f(x)在(2,4)上单调递减D．f(x)在(3，＋∞)上单调递增答案C解析由f(x)的增减性与f′(x)的正负之间的关系进行判断，当x∈(2,4)时，f′(x)0，故f(x)在(2,4)上单调递减，其余判断均错误．4．求证：函数f(x)＝ex－x－1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数．证明由于f(x)＝ex－x－1，所以f′(x)＝ex－1，当x∈(0，＋∞)时，ex1，即f′(x)＝ex－10，故函数f(x)在(0，＋∞)内为增函数；当x∈(－∞，0)时，ex1，即f′(x)＝ex－10，故函数f(x)在(－∞，0)内为减函数.知识点二求函数的单调区间5.函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)答案D解析f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝ex(x－2)．由f′(x)0得x2，∴f(x)的单调递增区间是(2，＋∞)．6．函数y＝12x2－lnx的单调递减区间为()A．(－1,1]B．(0,1]C．[1，＋∞)D．(0，＋∞)答案B解析函数y＝12x2－lnx的定义域为(0，＋∞)，y′＝x－1x＝x－1x＋1x，令y′≤0，则可得0x≤1.7．求下列函数的单调区间：(1)y＝23x3－2x2＋3；(2)y＝ln(2x＋3)＋x2.解(1)函数的定义域为R.y′＝2x2－4x＝2x(x－2)．令y′0，则2x(x－2)0，解得x0或x2.所以函数的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)．令y′0，则2x(x－2)0，解得0x2.所以函数的单调递减区间为(0,2)．(2)函数y＝ln(2x＋3)＋x2的定义域为－32，＋∞.y′＝22x＋3＋2x＝4x2＋6x＋22x＋3＝22x＋1x＋12x＋3.令y′0，解得－32x－1或x－12.所以函数的单调递增区间为－32，－1，－12，＋∞.令y′0，解得－1x－12.所以函数的单调递减区间为－1，－12.故f(x)的单调增区间为－32，－1，－12，＋∞；单调减区间为－1，－12.一、选择题1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是()A．y＝sin2xB．y＝xexC．y＝x3－xD．y＝－x＋ln(1＋x)答案B解析y＝xex，则y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)在(0，＋∞)上恒大于0.2．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()A．f(b)f(c)f(d)B．f(b)f(a)f(e)C．f(c)f(b)f(a)D．f(c)f(e)f(d)答案C解析由题图可得当x∈(－∞，c)时，f′(x)0；当x∈(c，e)时，f′(x)0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)0.因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，在(c，e)上是减函数，在(e，＋∞)上是增函数．又abc，所以f(c)f(b)f(a)．3．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图，则导函数y＝f′(x)的图象可能为下图中的()答案D解析由f(x)图象可知当x0时，f(x)是单调递减的，即当x0时，f′(x)0恒成立，故A，C错误，而当x刚大于0时，f(x)递增，即f′(x)0，故B错误，D正确．4．y＝xlnx在(0,5)上是()A．单调增函数B．单调减函数C．在0，1e上单调递减，在1e，5上单调递增D．在0，1e上单调递增，在1e，5上单调递减答案C解析∵y′＝x′·lnx＋x·(lnx)′＝lnx＋1，∴当0x1e时，lnx－1，即y′0，∴y在0，1e上单调递减．当1ex5时，lnx－1，即y′0，∴y在1e，5上单调递增．5．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若a2－3b0，则f(x)是()A．减函数B．增函数C．常函数D．既不是减函数也不是增函数答案B解析由题意知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，则方程3x2＋2ax＋b＝0的根的判别式Δ＝4a2－12b＝4(a2－3b)0，故f′(x)0在R上恒成立，即f(x)在R上为增函数．二、填空题6．函数y＝f(x)在定义域－32，3内可导，其图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)0的解集为________．答案－13，1∪(2,3)解析f′(x)0的解集即为f(x)的单调递减区间，结合题图可知f′(x)0的解集为－13，1∪(2,3)．7．函数y＝ln(x2－x－2)的递减区间为__________．答案(－∞，－1)解析∵f′(x)＝2x－1x2－x－2，由f′(x)＝2x－1x2－x－20，得x－1或12x2，而函数的定义域为(－∞，－1)∪(2，＋∞)，故递减区间为(－∞，－1)．8．已知f(x)是定义在区间(0，＋∞)内的函数，其图象是连续不间断的，且f′(x)0.若f(lgx)f(1)，则x的取值范围是________．答案(1,10)解析∵在区间(0，＋∞)内f′(x)0，∴f(x)在区间(0，＋∞)内为减函数．∵f(lgx)f(1)，∴lgx＞0，lgx1，∴1x10.三、解答题9．设函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其中a＋b＝0，a，b，c均为常数，曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x＋y－1＝0.(1)求a，b，c的值；(2)求函数f(x)的单调区间．解(1)因为f′(x)＝3ax2＋2bx，所以f′(1)＝3a＋2b，又因为切线x＋y＝1的斜率为－1，所以3a＋2b＝－1，a＋b＝0，解得a＝－1，b＝1，所以f(1)＝a＋b＋c＝c，由点(1，c)在直线x＋y＝1上，可得1＋c＝1，即c＝0，所以a＝－1，b＝1，c＝0.(2)由(1)令f′(x)＝－3x2＋2x＝0，解得x1＝0，x2＝23，当x∈(－∞，0)时f′(x)＜0；当x∈0，23时f′(x)＞0；当x∈23，＋∞时f′(x)＜0，所以f(x)的增区间为0，23，减区间为(－∞，0)和23，＋∞.10．已知函数f(x)＝x2·ex－1＋ax3＋bx2，且x＝－2和x＝1是f′(x)＝0的两根．(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间．解(1)因为f′(x)＝ex－1(2x＋x2)＋3ax2＋2bx＝xex－1(x＋2)＋x(3ax＋2b)．又x＝－2和x＝1为f′(x)＝0的两根，所以f′(－2)＝f′(1)＝0.故有－6a＋2b＝0，3＋3a＋2b＝0，解方程组得a＝－13，b＝－1.(2)因为a＝－13，b＝－1，∴f′(x)＝x(x＋2)(ex－1－1)．令f′(x)＝0得x1＝－2，x2＝0，x3＝1.当x∈(－2,0)∪(1，＋∞)时，f′(x)0；当x∈(－∞，－2)∪(0,1)时，f′(x)0，∴f(x)的单调递增区间为(－2,0)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2)和(0,1)．