2019-2020学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 课时作业7 函

课时作业7函数的单调性与导数(2)知识点一已知函数单调性求参数的值或取值范围1.函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a的取值范围是()A．[3，＋∞)B．[－3，＋∞)C．(－3，＋∞)D．(－∞，－3)答案B解析∵f(x)＝x3＋ax－2，∴f′(x)＝3x2＋a.∵由已知，f′(x)≥0在区间(1，＋∞)内恒成立，∴a≥－3x2在区间(1，＋∞)内恒成立，∴a≥－3.2．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1，2)，则b＝__________，c＝__________.答案－32－6解析f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题意知－1x2是不等式f′(x)0的解，即－1,2是方程3x2＋2bx＋c＝0的两个根，因此b＝－32，c＝－6.3．已知f(x)＝2ax－1x2，若f(x)在x∈(0,1]上是增函数，则a的取值范围为________．答案[－1，＋∞)解析由已知得f′(x)＝2a＋2x3.∵f(x)在(0,1]上单调递增，∴f′(x)≥0，即a≥－1x3在x∈(0,1]上恒成立，而g(x)＝－1x3在(0,1]上单调递增，∴g(x)max＝g(1)＝－1，∴a≥－1.4．已知函数f(x)＝2ax3＋4x2＋3x－1在R上是增函数，求实数a的取值范围．解f′(x)＝6ax2＋8x＋3.∵f(x)在R上是增函数，∴f′(x)≥0在R上恒成立，即6ax2＋8x＋3≥0在R上恒成立，∴64－72a≤0，a＞0，解得a≥89.经检验，当a＝89时，只有个别点使f′(x)＝0，符合题意．∴当a≥89时，f(x)在R上单调递增.知识点二构造函数解不等式5.若定义在R上的函数y＝f(x)满足f′(x)f(x)，则当a0时，f(a)与eaf(0)的大小关系为()A．f(a)eaf(0)B．f(a)eaf(0)C．f(a)＝eaf(0)D．不能确定答案B解析令F(x)＝fxex，则F′(x)＝f′xex－fxexex2＝f′x－fxex0，从而F(x)＝fxex在R上单调递增，于是当a0时，F(a)＝faeaF(0)＝f0e0＝f(0)，即f(a)eaf(0)．6．函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意的x∈R，f(x)＋f′(x)1，则不等式exf(x)ex＋1的解集是()A．{x|x0}B．{x|x0}C．{x|x－1或x1}D．{x|x－1或0x1}答案A解析构造函数g(x)＝exf(x)－ex－1，则g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)－1]．由已知f(x)＋f′(x)1，可得g′(x)0，所以g(x)为R上的增函数．又g(0)＝e0f(0)－e0－1＝0，所以exf(x)ex＋1，即g(x)0的解集为{x|x0}.知识点三含参数的函数的单调区间7.(1)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为[－1,2]，求b，c的值；(2)已知f(x)＝ax3＋x恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围．解(1)∵函数f(x)的导函数为f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题设知－1≤x≤2是不等式3x2＋2bx＋c≤0的解集，∴－1,2是方程3x2＋2bx＋c＝0的两个实根，∴－1＋2＝－23b，－1×2＝c3，即b＝－32，c＝－6.(2)∵f′(x)＝3ax2＋1，且f(x)有三个单调区间，∴方程3ax2＋1＝0有两个不相等实根，∴a≠0，Δ＝02－4×3a×10，∴a0，即实数a的取值范围为a0.一、选择题1．若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)内单调递增，则k的取值范围是()A．(－∞，－2]B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)答案D解析因为f(x)＝kx－lnx，所以f′(x)＝k－1x.因为f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x1时，f′(x)＝k－1x≥0恒成立，即k≥1x在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x1，所以01x1，所以k≥1.故选D.2．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－3)∪[3，＋∞)B．[－3，3]C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－3，3)答案B解析f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立且不恒为0，Δ＝4a2－12≤0⇒－3≤a≤3.3．设函数f(x)＝12x2－9lnx在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是()A．1＜a≤2B．a≥4C．a≤2D．0＜a≤3答案A解析∵f(x)＝12x2－9lnx，∴f′(x)＝x－9x(x＞0)．令x－9x≤0，解得0＜x≤3，即函数f(x)在(0,3]上是减函数，∴a－1＞0且a＋1≤3，解得1＜a≤2.4．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)2.则f(x)2x＋4的解集为()A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)答案B解析构造函数g(x)＝f(x)－(2x＋4)，则g(－1)＝2－(－2＋4)＝0.又f′(x)2，∴g′(x)＝f′(x)－20，∴g(x)是R上的增函数．∴f(x)2x＋4⇔g(x)0⇔g(x)g(－1)，∴x－1.5．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，g(x)恒不为0，当x0时，f′(x)g(x)－f(x)g′(x)0，且f(3)＝0，则不等式f(x)g(x)0的解集是()A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)答案D解析令F(x)＝fxgx，则F(x)为奇函数，F′(x)＝f′xgx－fxg′xg2x.∵当x0时，F′(x)0，∴F(x)在(－∞，0)内为增函数．又F(3)＝f3g3＝0，∴F(－3)＝0.∴当x－3时，F(x)0；当－3x0时，F(x)0.又F(x)为奇函数，∴当0x3时，F(x)0；当x3时，F(x)0.而不等式f(x)g(x)0和fxgx0为同解不等式(g(x)恒不为0)，∴不等式f(x)g(x)0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．二、填空题6．函数f(x)＝xln(ax)(a0)的递减区间为________．答案1ae，0解析∵f(x)＝xln(ax)(a0)，∴f′(x)＝x′ln(ax)＋x[ln(ax)]′＝ln(ax)＋x·1x＝ln(ax)＋1.令f′(x)0，得ln(ax)－1，∴ax1e，又∵a0，∴x1ae，且原函数定义域为(－∞，0)，∴f(x)的递减区间为1ae，0.7．已知函数f(x)＝x2－cosx，x∈－π2，π2，则满足f(x0)fπ3的x0的取值范围为________．答案－π2，－π3∪π3，π2解析f′(x)＝2x＋sinx，当x∈0，π2时，f′(x)≥0，所以f(x)在0，π2上单调递增，由f(x0)fπ3，知π3x0≤π2，因为f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，所以－π2≤x0－π3也满足条件．8．定义运算abcd＝ad－bc，若函数f(x)＝x2－11－xx＋m的单调减区间是(0,2)，则实数m＝________.答案－3解析由题意可知f(x)＝(x2－1)(x＋m)－1×(－x)＝x3＋mx2－x－m＋x＝x3＋mx2－m.∴f′(x)＝3x2＋2mx，∵函数f(x)的单调减区间是(0,2)，∴－2m3＝2，解得m＝－3.三、解答题9．若函数f(x)＝13x3－12ax2＋(a－1)x＋1在区间[1,4]上为减函数，在区间[6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围．解解法一：f′(x)＝x2－ax＋a－1，由f′(x)＝0得x＝1或x＝a－1.当a－1≤1，即a≤2时，对于任意的x∈(1，＋∞)，f′(x)＞0，即函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，不符合题意；当a－1＞1，即a＞2时，函数f(x)在(－∞，1]和[a－1，＋∞)上单调递增，在[1，a－1]上单调递减，依题意[1,4]⊆[1，a－1]且[6，＋∞)⊆[a－1，＋∞)，从而4≤a－1≤6，故5≤a≤7.综上，实数a的取值范围为[5,7]．解法二：f′(x)＝x2－ax＋a－1，依题意，得f′(x)≤0在[1,4]上恒成立，且f′(x)≥0在[6，＋∞)上恒成立，即a－1≥x在[1,4]上恒成立，且a－1≤x在[6，＋∞)上恒成立，解得5≤a≤7.故所求实数a的取值范围为[5,7]．10．已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝12ax2＋2x，a≠0.(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．解(1)h(x)＝lnx－12ax2－2x，x∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝1x－ax－2.因为h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x∈(0，＋∞)时，1x－ax－20有解，即a1x2－2x有解．设G(x)＝1x2－2x，所以只要aG(x)min即可．而G(x)＝1x－12－1，所以G(x)min＝－1，所以a－1.(2)因为h(x)在[1,4]上单调递减，所以x∈[1,4]时，h′(x)＝1x－ax－2≤0恒成立，即a≥1x2－2x恒成立．所以a≥G(x)max.而G(x)＝1x－12－1.因为x∈[1,4]，所以1x∈14，1.所以G(x)max＝－716(此时x＝4)．所以a≥－716.