2019-2020学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.4.1 曲边梯形面积与定积分讲义 新人教B

1.4.1曲边梯形面积与定积分学习目标核心素养1．了解曲边梯形及其面积的含义；了解求曲边梯形面积的“分割、近似代替、求和、取极限”的基本过程．(重点)2．掌握定积分的概念，会用定义求定积分．(难点)3．理解定积分的几何意义与性质．(易混点)1．通过定积分概念的学习，培养学生的数学抽象素养.2．借助对定积分的几何意义的理解和性质的应用，提升学生的直观想象、数学运算素养.一、曲边梯形由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图)．二、定积分的定义设函数y＝f(x)定义在区间[a，b]上(如图)．用分点a＝x0＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn＝b把区间[a，b]分为n个小区间，其长度依次为Δxi＝xi＋1－xi，i＝0,1,2，…，n－1．记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0.在每个小区间内任取一点ξi，作和式In＝i＝0n－1f(ξi)Δxi，当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作abf(x)dx，即abf(x)dx＝limλ→0i＝0n－1f(ξi)Δxi.其中f(x)叫做被积函数，a叫积分下限，b叫积分上限，f(x)dx叫做被积式．此时称函数f(x)在区间[a，b]上可积．三、定积分的性质与几何意义1．定积分的性质(1)abcf(x)dx＝cabf(x)dx(c为常数)．(2)设f(x)，g(x)可积，则ab[f(x)±g(x)]dx＝abf(x)dx±abg(x)dx.2．定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分abf(x)dx表示由直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分abf(x)dx的几何意义．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)abf(x)dx＝abf(t)dt.()(2)abf(x)dx的值一定是一个正数．()(3)ab(x2＋2x)dx＝abx2dx＋ab2xdx.()[答案](1)√(2)×(3)√2．填空(1)由y＝0，y＝cosx，x＝0，x＝π2围成的图形的面积用定积分的形式表示为__________．(2)-11f(x)dx＝-10f(x)dx＋__________.(3)012xdx__________022xdx.(填“”“＝”或“”)[答案](1)0π2cosxdx(2)01f(x)dx(3)求曲边梯形的面积【例1】求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形面积．[思路探究]按分割、近似代替、求和、取极限四个步骤进行求解．[解](1)分割将曲边梯形分割成n个小曲边梯形，用分点1n，2n，…，n－1n把区间[0,1]等分成n个小区间：0，1n，1n，2n，…，i－1n，in，…，n－1n，nn，简写作i－1n，in(i＝1,2，…，n)．每个小区间的长度为Δx＝in－i－1n＝1n.过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSi，…，ΔSn.(2)近似代替用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积，在小区间i－1n，in上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，为了计算方便，取ξi为小区间的左端点，用f(ξi)的相反数－f(ξi)＝－i－1ni－1n－1为其一边长，以小区间长度Δx＝1n为另一边长的小矩形对应的面积近似代替第i个小曲边梯形面积，可以近似地表示为ΔSi≈－f(ξi)Δx＝－i－1ni－1n－1·1n(i＝1,2，…，n)．(3)求和因为每一个小矩形的面积都可以作为相应小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形面积S的近似值，即S＝i＝1nΔSi≈－i＝1nf(ξi)Δx＝i＝1n－i－1ni－1n－1·1n＝－1n3[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋1n2[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝－1n3·16n(n－1)(2n－1)＋1n2·nn－12＝－－n2＋16n2＝－161n2－1.(4)取极限当分割无限变细，即Δx趋向于0时，n趋向于∞，此时－161n2－1趋向于S.从而有S＝limn→∞－161n2－1＝16.所以由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形面积为16.由极限法求曲边梯形的面积的步骤第一步：分割．在区间[a，b]中等间隔地插入n－1个分点，将其等分成n个小区间[xi－1，xi](i＝1,2，…，n)，小区间的长度Δxi＝xi－xi－1．第二步：近似代替．“以直代曲”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出小曲边梯形面积的近似值．第三步：求和．将n个小矩形的面积进行求和得Sn.第四步：取极限．当n→∞时，Sn→S，S即为所求．1．求由直线x＝1，x＝2，y＝0及曲线y＝1x2围成的图形的面积S.[解](1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个点，将它等分成n个小区间：1，n＋1n，n＋1n，n＋2n，…，n＋n－1n，2，记第i个区间为n＋i－1n，n＋in(i＝1,2，…，n)，其长度为Δx＝n＋in－n＋i－1n＝1n.分别过上述n－1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形(如图)，它们的面积分别记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，则小曲边梯形面积的和为S＝i＝1nΔSi，(2)近似代替记f(x)＝1x2.当n很大，即Δx很小时，在区间n＋i－1n，n＋in上，可以认为f(x)＝1x2的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它等于fn＋i－1n·n＋in.从图形上看，就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边．这样，在区间n＋i－1n，n＋in上，用小矩形面积ΔSi′近似地代替ΔSi，即在局部小范围内“以直代曲”，则有ΔSi≈ΔSi′＝fn＋i－1n·n＋inΔx＝n2n＋i－1n＋i·1n＝nn＋i－1n＋i(i＝1,2，…，n)．(3)求和小曲边梯形的面积和Sn＝i＝1nΔSi≈i＝1nΔSi′＝i＝1nnn＋i－1n＋i＝nnn＋1＋nn＋1n＋2＋…＋nn＋n－1n＋n＝n1n－1n＋1＋1n＋1－1n＋2＋…＋1n＋n－1－1n＋n＝n1n－12n＝12.从而得到S的近似值S≈Sn＝12.(4)取极限分别将区间[1,2]等分成8,16,20，…等份时，Sn越来越趋向于S，从而有S＝limn→∞Sn＝12.所以由直线x＝1，x＝2，y＝0及曲线y＝1x2围成的图形的面积S为12.利用定义求定积分【例2】利用定积分的定义，计算12(3x＋2)dx的值．[思路探究]根据定积分的意义，分四步求解，即分割，近似代替，求和，取极限．[解]令f(x)＝3x＋2.(1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个分点，将区间[1,2]等分成n个小区间n＋i－1n，n＋in(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝n＋in－n＋i－1n＝1n.(2)近似代替、作和取ξi＝n＋i－1n(i＝1,2，…，n)，则Sn＝i＝1nfn＋i－1n·Δx＝i＝1n3n＋i－1n＋2·1n＝i＝1n3i－1n2＋5n＝3n2[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＋5＝32×n2－nn2＋5＝132－32n.(3)取极限12(3x＋2)dx＝limn→∞Sn＝limn→∞132－32n＝132.利用定义求定积分的步骤2．利用定积分的定义，计算12(x＋1)dx的值．[解]f(x)＝x＋1在区间[1,2]上连续，将区间[1,2]等分成n个小区间1＋i－1n，1＋in(i＝1,2，…，n)，每个区间的长度为Δx＝1n，在1＋i－1n，1＋in上取ξi＝1＋i－1n(i＝1,2，…，n)，∴f(ξi)＝1＋1＋i－1n＝2＋i－1n，∴i＝1nf(ξi)·Δx＝i＝1n2＋i－1n·1n＝i＝1n2n＋i－1n2＝2n·n＋1n2[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝2＋n－12n＝2＋12－12n＝52－12n，∴12(1＋x)dx＝limn→∞52－12n＝52.定积分的几何意义【例3】利用定积分的几何意义求下列定积分．(1)-339－x2dx；(2)03(2x＋1)dx；(3)-11(x3＋3x)dx.[思路探究]对于本题(1)、(2)可先确定被积函数、积分区间，画出图形，然后用几何法求出图形面积，从而确定定积分的值；对于(3)可根据被积函数的奇偶性求解．[解](1)曲线y＝9－x2表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆，如图(1)所示．其面积为S＝12·π·32＝92π.由定积分的几何意义知-339－x2dx＝92π.(2)曲线f(x)＝2x＋1为一条直线.03(2x＋1)dx表示直线f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3围成的直角梯形OABC的面积，如图(2)所示．其面积为S＝12(1＋7)×3＝12.根据定积分的几何意义知03(2x＋1)dx＝12.(3)∵y＝x3＋3x在区间[－1,1]上为奇函数，图象关于原点对称，∴曲边梯形在x轴上方部分面积与x轴下方部分面积相等．由定积分的几何意义知-11(x3＋3x)dx＝0.上例(1)中变为-32329－x2dx，如何求解？[解]由y＝9－x2，知x2＋y2＝9(y≥0)，x∈－32，32，其图象如图所示：由定积分的几何意义，知-32329－x2dx等于圆心角为60°的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和．S弓形＝12×π3×32－12×3×332＝6π－934，S矩形＝|AB|×|BC|＝2×32×9－322＝932，∴-32329－x2dx＝6π－934＋932＝6π＋934.1．定积分的几何意义的应用(1)利用定积分的几何意义求abf(x)dx的值的关键是确定由曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b及y＝0所围成的平面图形的形状．常见的图形有三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．(2)不规则的图形常利用分割法将图形分割成几个容易求定积分的图形求面积，要注意分割点要确定准确．2．奇、偶函数在区间[－a，a]上的定积分(1)若奇函数y＝f(x)的图象在[－a，a]上连续，则－aafxdx＝0.(2)若偶函数y＝f(x)的图象在[－a，a]上连续，则－aafxdx＝20af(x)dx.定积分性质的应用[探究问题]1．怎样求分段函数的定积分？提示：可先把每一段函数的定积分求出后再相加．2．怎样求奇(偶)函数在区间[－a，a]上的定积分？提示：①若奇函数y＝f(x)的图象在[－a，a]上连续，则-aaf(x)dx＝0；②若偶函数y＝g(x)的图象在[－a，a]上连续，则-aag(x)dx＝20ag(x)dx.【例4】利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积．(1)y＝0，y＝x，x＝2；(2)y＝x－2，x＝y2.[思路探究]由定积分的几何意义，作出图形，分割区间表示．[解](1)曲线所围成的平面区域如图(1)所示．设此面积为S，则S＝02(x－0)dx＝02xdx.(1)(2)(2)曲线所围成的平面区域如图(2)所示．设面积为S，则S＝A1＋A2.因为A1由y＝x，y＝－x，x＝