2019-2020学年高中数学 第1章 导数及其应用阶段复习课学案 苏教版选修2-2

第1章导数及其应用第一课导数及其应用导数的几何意义及其应用【例1】已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求斜率为4的曲线的切线方程．[解](1)∵P(2,4)在曲线y＝13x3＋43上，且y′＝x2，∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′|x＝2＝4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)设曲线y＝13x3＋43与过点P(2,4)的切线相切于点Ax0，13x30＋43，则切线的斜率k＝y′|x＝x0＝x20.∴切线方程为y－13x30＋43＝x20(x－x0)，即y＝x20·x－23x30＋43.∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x20－23x30＋43，即x30－3x20＋4＝0，∴x30＋x20－4x20＋4＝0.∴x20(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.(3)设切点为(x0，y0)，则切线的斜率k＝x20＝4，∴x0＝±2.∴切点为(2,4)或－2，－43.∴斜率为4的曲线的切线方程为y－4＝4(x－2)和y＋43＝4(x＋2)，即4x－y－4＝0和12x－3y＋20＝0.利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．(2)如果已知点不是切点，则应先求出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．注意：曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，例如，y＝x3在(1,1)处的切线l与y＝x3的图象还有一个交点(－2，－8)．1．(1)曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于________．(2)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是________．(填序号)(1)2(2)②[(1)y′＝ex－1＋xex－1＝(x＋1)ex－1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y′|x＝1＝2.(2)从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x＝0时最大，所以函数f(x)的图象的变化率也先增大后减小，在x＝0时变化率最大．①中，在x＝0时变化率最小，故错误；③中，变化率是越来越大的，故错误；④中，变化率是越来越小的，故错误；②正确．]函数的单调性与导数【例2】已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)内单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．[思路探究]研究函数的单调性可通过判断导数的符号来解决．因为涉及参数a，所以要分类讨论．[解](1)由已知，得f′(x)＝3x2－a.因为f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立．因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上单调递增，所以a≤0.故实数a的取值范围是a≤0.(2)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)内恒成立，得a≥3x2在x∈(－1,1)内恒成立．因为－1x1，所以3x23，所以只需a≥3.因为当a＝3时，f′(x)＝3(x2－1)，在x∈(－1,1)上，f′(x)0，即f(x)在(－1,1)上单调递减，所以a≥3.故存在实数a≥3，使f(x)在(－1,1)内单调递减．求函数的单调区间的方法步骤(1)确定函数f(x)的定义域．(2)计算函数f(x)的导数f′(x)．(3)解不等式f′(x)0，得到函数f(x)的递增区间；解不等式f′(x)0，得到函数f(x)的递减区间．注意：求函数单调区间一定要先确定函数定义域，往往因忽视函数定义域而导致错误．2．设函数f(x)＝alnx＋x－1x＋1(a≠0)，讨论函数f(x)的单调性．[解]函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝ax＋2x＋12＝ax2＋2a＋2x＋axx＋12.当a≥0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．当a＜0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)，①当a＝－12时，Δ＝0，f′(x)＝－12x－12xx＋12≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．②当a＜－12时，Δ＜0，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．③当－12＜a＜0时，Δ＞0.设x1，x2(x1＜x2)是函数g(x)的两个零点，则x1＝－a＋1＋2a＋1a，x2＝－a＋1－2a＋1a.因为x1＝a＋1－2a＋1－a＝a2＋2a＋1－2a＋1－a＞0，所以，x∈(0，x1)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，x∈(x1，x2)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，x∈(x2，＋∞)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减．综上可得，当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≤－12时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当－12＜a＜0时，f(x)在0，－a＋1＋2a＋1a，－a＋1－2a＋1a，＋∞上单调递减，在－a＋1＋2a＋1a，－a＋1－2a＋1a上单调递增．函数的极值、最值与导数【例3】已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间[0，t](0t3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)＝c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围．[思路探究](1)由f1＝0，f′1＝－3，求出a，b即可．(2)对t分0t≤2与2t3两种情况求最值．(3)构造函数g(x)＝f(x)－c转化为g(x)在[1,3]上有实根求解．[解](1)因为f′(x)＝3x2＋2ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为：f′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，a＝－3.又函数过(1,0)点，即－2＋b＝0，b＝2.所以a＝－3，b＝2，f(x)＝x3－3x2＋2.(2)由f(x)＝x3－3x2＋2，得f′(x)＝3x2－6x.由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.①当0t≤2时，在区间(0，t)上f′(x)0，f(x)在[0，t]上是减函数，所以f(x)最大值＝f(0)＝2，f(x)最小值＝f(t)＝t3－3t2＋2.②当2t3时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x0(0,2)2(2，t)tf′(x)0－0＋f(x)2极小值－2t3－3t2＋2f(x)最小值＝f(2)＝－2，f(x)最大值为f(0)与f(t)中较大的一个．f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)0.所以f(x)最大值＝f(0)＝2.(3)令g(x)＝f(x)－c＝x3－3x2＋2－c，g′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．在x∈[1,2)上，g′(x)0；在x∈(2,3]上，g′(x)0.要使g(x)＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，则g1≥0，g20，g3≥0.解得－2c≤0.1．求函数的极值的方法(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)．(2)求方程f′(x)＝0的根．(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值．2．求函数的最值的方法(1)求f(x)在(a,b)内的极值．(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较得出函数f(x)在[a，b]上的最值．3．已知函数f(x)＝－x3＋12x＋m.(1)若x∈R，求函数f(x)的极大值与极小值之差；(2)若函数y＝f(x)有三个零点，求m的取值范围；(3)当x∈[－1,3]时，f(x)的最小值为－2，求f(x)的最大值．[解](1)f′(x)＝－3x2＋12.当f′(x)＝0时，x＝－2或x＝2.当f′(x)＞0时，－2＜x＜2.当f′(x)＜0时，x＜－2或x＞2.∴f(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递减，在(－2,2)上单调递增．∴f(x)极小值＝f(－2)＝－16＋m.f(x)极大值＝f(2)＝16＋m.∴f(x)极大值－f(x)极小值＝32.(2)由(1)知要使函数y＝f(x)有三个零点，必须fx极小值＜0，fx极大值＞0，即－16＋m＜0，16＋m＞0，∴－16＜m＜16.∴m的取值范围为(－16,16)．(3)当x∈[－1,3]时，由(1)知f(x)在[－1,2)上单调递增，f(x)在[2,3]上单调递减，f(x)的最大值为f(2)．又f(－1)＝－11＋m，f(3)＝m＋9，∴f(－1)＜f(3)，∴在[－1,3]上f(x)的最小值为f(－1)＝－11＋m，∴－11＋m＝－2，∴m＝9.∴当x∈[－1,3]时，f(x)的最大值为f(2)＝(－2)3＋12×2＋9＝25.生活中的优化问题【例4】某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．[解](1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又据题意知200πrh＋160πr2＝12000π，所以h＝15r(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝π5(300r－4r3)．因为r0，又由h0可得r53，故函数V(r)的定义域为(0,53)．(2)因为V(r)＝π5(300r－4r3)，所以V′(r)＝π5(300－12r2)．令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因r2＝－5不在定义域内，舍去)．当r∈(0,5)时，V′(r)0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r∈(5,53)时，V′(r)0，故V(r)在(5,53)上为减函数．由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．1．优化问题的常见类型关于生活中的优化问题涉及面极广，常见的有：(1)几何体的面积、体积问题；(2)最低成本与最大效益问题；(3)生产分配与投资理财问题；(4)下料设计与厂址选点问题．2．解决优化问题的注意点(1)利用导数解决优化问题，往往归结为函数的最大(小)值，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在解决优化问题时，将问题中涉及的变量关系用函数关系表示出来的同时，还要确定函数关系中自变量的定义域．(3)有些优化问题除用导数法求解外，有时还可用配方法、基本不等式法等，解题时要注意方法的灵活选用．4．书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库存费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分__________次进货、每次进__________册，可使所付的手续费与库存费之和最少．1015000[设每次进书x千册(0x150)，手续费与库存费之和为y元，由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量一半，即x2，故有y＝150x×3