2019-2020学年高中数学 第1章 导数及其应用章末复习课学案 新人教A版选修2-2

第1章导数及其应用导数的几何意义【例1】已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－14x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．[解](1)∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2)法一：设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x20＋1，∴直线l的方程为y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16.又∵直线l过点(0,0)，∴0＝(3x20＋1)(－x0)＋x30＋x0－16.整理得，x30＝－8，∴x0＝－2.∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，则k＝y0－0x0－0＝x30＋x0－16x0，又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1，∴x30＋x0－16x0＝3x20＋1.解得，x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．(3)∵切线与直线y＝－x4＋3垂直，∴切线的斜率k＝4.设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x20＋1＝4，∴x0＝±1.∴x0＝1，y0＝－14或x0＝－1，y0＝－18.即切点为(1，－14)或(－1，－18)．切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.即y＝4x－18或y＝4x－14.1．导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)，明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f(x)的切线方程”的异同点．2．围绕着切点有三个等量关系：切点(x0，y0)，则k＝f′(x0)，y0＝f(x0)，(x0，y0)满足切线方程，在求解参数问题中经常用到．1．直线y＝kx＋b与曲线y＝x3＋ax＋1相切于点(2,3)，则b＝________.－15[∵y＝x3＋ax＋1过点(2,3)，∴a＝－3，∴y′＝3x2－3，∴k＝y′|x＝2＝3×4－3＝9，∴b＝y－kx＝3－9×2＝－15.]函数的单调性与导数【例2】(1)f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)－f(x)≤0，对任意正数a，b，若a＜b，则必有()A．af(b)＜bf(a)B．bf(a)＜af(b)C．af(a)＜bf(b)D．bf(b)＜af(a)(2)设f(x)＝alnx＋x－1x＋1，其中a为常数，讨论函数f(x)的单调性．(1)A[令F(x)＝fxx，则F′(x)＝xf′x－fxx2.又当x＞0时，xf′(x)－f(x)≤0，∴F′(x)≤0，∴F(x)在(0，＋∞)上单调递减．又a＜b，∴F(a)＞F(b)，∴faa＞fbb，∴bf(a)＞af(b)，故选A.](2)[解]函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝ax＋2x＋12＝ax2＋2a＋2x＋axx＋12.当a≥0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．当a＜0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)，①当a＝－12时，Δ＝0，f′(x)＝－12x－12xx＋12≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．②当a＜－12时，Δ＜0，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．③当－12＜a＜0时，Δ＞0.设x1，x2(x1＜x2)是函数g(x)的两个零点，则x1＝－a＋1＋2a＋1a，x2＝－a＋1－2a＋1a，由x1＝a＋1－2a＋1－a＝a2＋2a＋1－2a＋1－a＞0，所以x∈(0，x1)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，x∈(x1，x2)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，x∈(x2，＋∞)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，综上可得：当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≤－12时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当－12＜a＜0时，函数f(x)在0，－a＋1＋2a＋1a，－a＋1－2a＋1a，＋∞上单调递减，在－a＋1＋2a＋1a，－a＋1－2a＋1a上单调递增．利用导数确定参数的取值范围时，要充分利用fx与其导数f′x之间的对应关系，然后结合函数的单调性等知识求解.,求解参数范围的步骤为：1对含参数的函数fx求导，得到f′x；2若函数fx在a，b上单调递增，则f′x≥0恒成立；若函数fx在a，b上单调递减，则f′x≤0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；3验证参数范围中取等号时，是否恒有f′x＝0.若f′x＝0恒成立，则函数fx在a，b上为常函数，舍去此参数值.2．若函数f(x)＝13x3－12ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围．[解]函数f(x)的导数f′(x)＝x2－ax＋a－1.令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝a－1.当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，不合题意．当a－1＞1，即a＞2时，函数f(x)在(－∞，1)上为增函数，在(1，a－1)上为减函数，在(a－1，＋∞)上为增函数．依题意当x∈(1,4)时，f′(x)＜0，当x∈(6，＋∞)时，f′(x)＞0.故4≤a－1≤6，即5≤a≤7.因此a的取值范围是[5,7].函数的极值、最值与导数【例3】已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1,0)且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间[0，t](0＜t＜3)上的最大值和最小值．[解](1)因为f′(x)＝3x2＋2ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为f′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，a＝－3.又函数过(1,0)点，即－2＋b＝0，b＝2.所以a＝－3，b＝2，f(x)＝x3－3x2＋2.(2)由f(x)＝x3－3x2＋2，得f′(x)＝3x2－6x.由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.①当0＜t≤2时，在区间(0，t)上，f′(x)＜0，f(x)在[0，t]上是减函数，所以f(x)max＝f(0)＝2，f(x)min＝f(t)＝t3－3t2＋2.②当2＜t＜3时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x0(0,2)2(2，t)tf′(x)0－0＋f(x)2↘－2↗t3－3t2＋2f(x)min＝f(2)＝－2，f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个．f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)＜0，所以f(x)max＝f(0)＝2.(变结论)在本例条件不变的情况下，若关于x的方程f(x)＝c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围．[解]令g(x)＝f(x)－c＝x3－3x2＋2－c，则g′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．在x∈[1,2)上，g′(x)＜0；在x∈(2,3]上，g′(x)＞0.要使g(x)＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，则g1≥0，g2＜0，g3≥0，解得－2＜c≤0.(1求极值时一般需确定f′x＝0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点.2求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得.3．(2019·全国卷Ⅰ节选)已知函数f(x)＝sinx－ln(1＋x)，f′(x)为f(x)的导数．证明：f′(x)在区间－1，π2存在唯一极大值点．[解]设g(x)＝f′(x)，则g(x)＝cosx－11＋x，g′(x)＝－sinx＋11＋x2，当x∈－1，π2时，g′(x)单调递减，而g′(0)0，g′π20，可得g′(x)在－1，π2有唯一零点，设为a.则当x∈(－1，a)时，g′(x)0；当x∈a，π2时，g′(x)0.所以g(x)在(－1，a)单调递增，在a，π2单调递减，故g(x)在－1，π2存在唯一极大值点，即f′(x)在－1，π2存在唯一极大值点.生活中的优化问题【例4】某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为64π3立方米．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元，半球体部分每平方米建造费用为4千元．设该容器的总建造费用为y千元．(1)将y表示成r的函数，并求该函数的定义域；(2)确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用．[解]由题意可知4πr33＋πr2l＝64π3，∴l＝643r2－4r3.又圆柱的侧面积为2πrl＝128π3r－8πr23，两端两个半球的表面积之和为4πr2.所以y＝128π3r－8πr23×3＋4πr2×4＝128πr＋8πr2.又l＝643r2－4r3＞0⇒r＜243，所以定义域为(0,243)．(2)因为y′＝－128πr2＋16πr＝16πr3－8r2，所以令y′＞0，得2＜r＜243；令y′＜0，得0＜r＜2.所以当r＝2米时，该容器的建造费用最小，为96π千元，此时l＝83米．解决优化问题的步骤(1)要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域．(2)要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．(3)验证数学问题的解是否满足实际意义．4．现有一批货物由海上A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/小时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/小时)的函数；(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？[解](1)依题意得y＝500x(960＋0.6x2)＝480000x＋300x，函数的定义域为(0,35]，即y＝480000x＋300x(0＜x≤35)．(2)由(1)知y＝480000x＋300x(0＜x≤35)，所以y′＝－480000x2＋300.令y′＝0，解得x＝40或x＝－40(舍去)．因为函数的定义域为(0,35]，所以函数在定义域内没有极值．又当0＜x≤35时，y′＜0，所以y＝480000x＋300x在(0,35]上单调递减，故当x＝35时，函数y＝480000x＋300x取得最小值．故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/小时的速度行驶.函数方程思想【例5】设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求f(x)的极值点；(2)若关于x的方程f(x)＝a有3个不同实根，求实数a的取值范围；(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围．[解](1)f′(x)＝3(x2－2)，令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.当x∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)时，f′(x)＞0，当x∈(－2，2)时，f′(x)＜