2019-2020学年高中数学 第1章 基本初等函数（Ⅱ） 1.2.3 同角三角函数的基本关系式练习

1.2.3同角三角函数的基本关系式课时跟踪检测[A组基础过关]1．已知α∈π2，π，tanα＝－34，则cosα等于()A.45B.－45C．－17D.－35解析：cos2α＝11＋tan2α＝1625，∵α∈π2，π，∴cosα＜0，∴cosα＝－45.答案：B2．已知sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝2，则sinθcosθ的值为()A.34B.±310C.310D.－310解析：解法一：由sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝2，得sinθ＝3cosθ，由sin2θ＋cos2θ＝9cos2θ＋cos2θ＝10cos2θ＝1，∴cos2θ＝110，∴sinθcosθ＝3cos2θ＝310，故选C.解法二：sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝tanθ＋1tanθ－1＝2，∴tanθ＝3，sinθ·cosθ＝sinθ·cosθsin2θ＋cos2θ＝tanθtan2θ＋1＝39＋1＝310.答案：C3．若sinθ，cosθ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为()A．1±3B.1－5C．1±5D.－1－5解析：由题可知sinθ＋cosθ＝－m2，sinθ·cosθ＝m4，根据(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，得m24＝1＋m2，∴m2－2m－4＝0，∴m＝1±5，又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，∴m＝1－5，故选B.答案：B4．sinα－cosα·tanα－sin4α－sin2α·cos2α－cos2α＝()A．0B.1C．－1D.2解析：sinα－cosα·tanα－sin4α－sin2α·cos2α－cos2α＝sinα－sinα－sin2α(sin2α＋cos2α)－cos2α＝－(sin2α＋cos2α)＝－1.答案：C5．已知sinα＋cosα＝12，α∈(0，π)，则1－tanα1＋tanα＝()A.7B.－7C.3D.－3解析：由sinα＋cosα＝12，得2sinαcosα＝－340，∴α为钝角，sinα0，cosα0，∴sinα－cosα0，∵(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝74，∴sinα－cosα＝72，∴1－tanα1＋tanα＝cosα－sinαcosα＋sinα＝－7212＝－7.故选B.答案：B6．已知tanα＝2，则cos2α＝________.解析：cos2α＝11＋tan2α＝15.答案：157．已知sinα＝55，则sin4α－cos4α的值为________．解析：由sinα＝55，得cos2α＝1－sin2α＝45.∴sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝15－45＝－35.答案：－358．已知tanα＝12，求下列各式的值：(1)2cosα－3sinα3cosα＋4sinα；(2)sin2α－3sinαcosα＋4cos2α.解：(1)原式＝2－3tanα3＋4tanα＝2－323＋2＝110.(2)原式＝sin2α－3sinαcosα＋4cos2αsin2α＋cos2α＝tan2α－3tanα＋4tan2α＋1＝14－32＋414＋1＝115.[B组技能提升]1．若α为第三象限角，则cosα1－sin2α＋2sinα1－cos2α的值为()A．3B.－3C．1D.－1答案：B2．若cosα＋2sinα＝－5，则tanα＝()A.12B.2C．－12D.－2解析：解法一：∵cosα＋2sinα＝－5，∴cosα＝－5－2sinα.∵sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＋(－5－2sinα)2＝1，∴5sin2α＋45sinα＋4＝0，即(5sinα＋2)2＝0，∴sinα＝－255，∴cosα＝－55.∴tanα＝2.解法二：∵cosα＋2sinα＝－5，∴(cosα＋2sinα)2＝5，∴cos2α＋4sin2α＋4sinαcosα＝5(sin2α＋cos2α)．∵cosα≠0，两边同时除以cos2α，∴tan2α－4tanα＋4＝0，∴(tanα－2)2＝0，∴tanα＝2.答案：B3．已知0＜A＜π，且满足sinA＋cosA＝713，则5sinA＋4cosA15sinA－7cosA＝________.解析：由sinA＋cosA＝713，①得1＋2sinAcosA＝49169，∴2sinAcosA＝－120169，∵0＜A＜π，∴sinA＞0，cosA＜0，∴sinA－cosA＞0.∴(sinA－cosA)2＝1－2sinAcosA＝289169，∴sinA－cosA＝1713.②由①②得，sinA＝1213，cosA＝－513，∴5sinA＋4cosA15sinA－7cosA＝843.答案：8434．化简2cos2α－11－2sin2α＝________.解析：2cos2α－11－2sin2α＝21－sin2α－11－2sin2α＝1－2sin2α1－2sin2α＝1.答案：15．求证：sinθ(1＋tanθ)＋cosθ1＋1tanθ＝1sinθ＋1cosθ.证明：左边＝sinθ1＋sinθcosθ＋cosθ1＋cosθsinθ＝sinθcosθ(cosθ＋sinθ)＋cosθsinθ(sinθ＋cosθ)＝(cosθ＋sinθ)sinθcosθ＋cosθsinθ＝(sinθ＋cosθ)1cosθsinθ＝1cosθ＋1sinθ＝右边，∴sinθ(1＋tanθ)＋cosθ1＋1tanθ＝1sinθ＋1cosθ.6．已知在△ABC中，sinA＋cosA＝15.(1)求sinA·cosA；(2)判断△ABC是锐角还是钝角三角形；(3)求tanA的值．解：(1)∵sinA＋cosA＝15，①∴两边平方得1＋2sinA·cosA＝125，sinA·cosA＝－1225.(2)由(1)sinA·cosA＝－12250，且0Aπ，可知cosA0，∴A为钝角，∴△ABC是钝角三角形．(3)∵(sinA－cosA)2＝1－2sinA·cosA＝1＋2425＝4925，又sinA0，cosA0，∴sinA－cosA0，∴sinA－cosA＝75，②∴由①，②可得sinA＝45，cosA＝－35，∴tanA＝sinAcosA＝45－35＝－43.