2019-2020学年高中数学 第1章 基本初等函数（Ⅱ） 1.3.1 正弦函数的图象与性质 第1课

第一课时正弦函数的图象与性质课时跟踪检测[A组基础过关]1．函数y＝sinx的一个递减区间是()A．(0，π)B.π2，3π2C.－π2，π2D.(π，2π)答案：B2．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋π3的最小正周期为()A．4πB.2πC．πD.π2解析：由T＝2π2＝π，故选C.答案：C3．函数y＝2sinπ6x－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为()A．2－3B.0C．－1D.－1－3解析：∵0≤x≤9，∴－π3≤π6x－π3≤7π6，∴y1＝sinπ6x－π3的值域是－32，1，∴y∈[－3，2]，∴最大值与最小值之和为2－3.答案：A4．函数f(x)＝2sinx对于x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值为()A.π4B.π2C．πD.2π解析：由题意可知f(x1)为最小值，f(x2)为最大值，则|x1－x2|的最小值为π，故选C.答案：C5．已知函数f(x)＝sin(2x＋α)在x＝π12处取得最大值，则α的一个可能值是()A．－π3B.π3C.π6D.－π6解析：由题可知2×π12＋α＝π2＋2kπ，k∈Z，∴α＝2kπ＋π3，k∈Z，当k＝0时，α＝π3，故选B.答案：B6．函数f(x)＝sin2x的最小正周期是________．答案：π7．函数y＝sin12x＋π3，x∈－π，π2的单调递增区间为________．解析：－π2＋2kπ≤12x＋π3≤π2＋2kπ，k∈Z，－5π6＋2kπ≤12x≤π6＋2kπ，－5π3＋4kπ≤x≤π3＋4kπ，k＝0时，－5π3≤x≤π3，又x∈－π，π2，∴y＝sin12x＋π3的单调递增区间为－π，π3.答案：－π，π38．已知函数f(x)＝sin2x－π6.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的单调递增区间；(3)当x∈0，2π3时，求函数f(x)的最小值，并求出使y＝f(x)取得最小值时相对应的x值．解：(1)对于函数f(x)＝sin2x－π6，它的最小正周期为T＝2π2＝π.(2)令－π2＋2kπ≤2x－π6≤π2＋2kπ，k∈Z，求得－π3＋2kπ≤2x≤2π3＋2kπ，k∈Z，即－π6＋kπ≤x≤π3＋kπ，k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间是－π6＋kπ，π3＋kπ(k∈Z)．(3)∵0≤x≤2π3，∴0≤2x≤4π3，即－π6≤2x－π6≤7π6.所以函数f(x)的最小值是－12，此时，x＝0或x＝2π3.[B组技能提升]1．下列函数中，在区间(－1,1)上单调递减的函数为()A．y＝x2B.y＝3xC．y＝sinxD.y＝log12(x＋1)答案：D2．设函数f(x)，x∈R满足f(x－π)＝f(x)＋sinx，当0≤x≤π时f(x)＝1，则f－13π6＝()A.12B.－12C.32D.－32解析：f－13π6＝f－7π6－π＝f－7π6＋sin－7π6＝f－π6＋sin－π6＋sin－7π6＝f5π6＋sin5π6＋sin－π6＋sin－7π6＝1＋12－12＋12＝32，故选C.答案：C3．函数f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________．解析：y＝3sinx，0≤x≤π，－sinx，π＜x≤2π.作出图象分析(如图)可知，1＜k＜3.答案：(1,3)4．函数f(x)＝x－sinx的零点个数为________．解析：由f(x)＝0，得x＝sinx，在同一坐标系中作出y＝x与y＝sinx的图象，可知只有一个交点，故f(x)的零点只有1个．答案：15．函数y＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0,0≤φ≤π2在x∈(0,7π)内只取到一个最大值和一个最小值，且当x＝π时，ymax＝3；当x＝6π时，ymin＝－3.(1)求此函数的解析式；(2)求此函数的单调递增区间．解：(1)由题意得A＝3，12T＝5π，∴T＝10π，∴ω＝2πT＝15，∴y＝3sin15x＋φ.∵点(π，3)在此函数图象上，∴3sin15π＋φ＝3.∴π5＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z.∵0≤φ≤π2，∴φ＝3π10.∴y＝3sin15x＋3π10.(2)当－π2＋2kπ≤15x＋3π10≤π2＋2kπ，k∈Z，即－4π＋10kπ≤x≤π＋10kπ，k∈Z时，函数y＝3sin15x＋3π10单调递增，∴函数的单调递增区间为[－4π＋10kπ，π＋10kπ]，k∈Z.6．设函数f(x)＝2sin2x－π4，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f(x)在区间π8，3π4上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值．解：(1)T＝2π2＝π.由2kπ－π2≤2x－π4≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π8≤x≤kπ＋3π8，k∈Z.∴递增区间是kπ－π8，kπ＋3π8，k∈Z.(2)令t＝2x－π4，则由π8≤x≤3π4可得0≤t≤5π4.∴当t＝5π4即x＝3π4时，ymin＝2·－22＝－1.∴当t＝π2即x＝3π8时，ymax＝2·1＝2.