2019-2020学年高中数学 第1章 基本初等函数（Ⅱ） 1.3.1 正弦函数的图象与性质（三）练

1.3.1正弦函数的图象与性质(三)课后拔高提能练一、选择题1．若将函数y＝2sin2x的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为()A．x＝kπ2－π6(k∈Z)B．x＝kπ2＋π6(k∈Z)C．x＝kπ2－π12(k∈Z)D．x＝kπ2＋π12(k∈Z)解析：选B将函数y＝2sin2x的图象向左平移π12个单位长度，得到y＝2sin2x＋π6，由2x＋π6＝π2＋kπ，∴x＝π6＋kπ2，k∈Z，∴函数的对称轴为x＝π6＋kπ2，k∈Z，故选B．2．已知函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω0)在区间[0,2π]上的图象如右图所示，那么ω＝()A．1B．2C．12D．13解析：选B由图象知函数的周期T＝π，所以ω＝2πT＝2ππ＝2.故选B．3．下列四种变换方式，其中能将y＝sinx的图象变为y＝sin2x＋π4的图象的是()①向左平移π4，再将横坐标缩短为原来的12；②横坐标缩短为原来的12，再向左平移π8；③横坐标缩短为原来的12，再向左平移π4；④向左平移π8，再将横坐标缩短为原来的12.A．①和②B．①和③C．②和③D．②和④答案：A4．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2的部分图象如图所示，则将y＝f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到的图象解析式为()A．y＝sin2xB．y＝cos2xC．y＝sin2x＋2π3D．y＝sin2x－π6解析：选D由图可知34T＝11π12－π6＝9π12＝3π4，∴T＝π，又T＝2πω，∴ω＝2.又A＝1，∴f(x)＝sin(2x＋φ)，又f(x)过点π6，1，∴fπ6＝sinπ3＋φ＝1，又|φ|π2，∴φ＝π6，∴f(x)＝sin2x＋π6，将f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到y＝sin2x－π6＋π6＝sin2x－π6的图象．5．将函数f(x)＝sinωx(其中ω＞0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点3π4，0，则ω的最小值是()A．13B．1C．53D．2解析：选D函数y＝sinωx(ω＞0)的图象向右平移π4个单位长度，可得到y＝sinωx－π4，过3π4，0，∴sinω3π4－π4＝0，即sinπω2＝0，∴πω2＝kπ(k∈Z)，ω＝2k(k∈Z)，∴ω的最小值为2.6．若函数f(x)＝sinωx＋π6－1(ω0)的最小正周期为2π3，则f(x)图象的一条对称轴方程是()A．x＝π9B．x＝π6C．x＝π3D．x＝π2解析：选A由T＝2π3，得ω＝3，∴f(x)＝sin3x＋π6－1，3x＋π6＝π2＋kπ，∴x＝π9＋kπ3(k∈Z)．∴一条对称轴方程为x＝π9.故选A．二、填空题7．如果y＝sin2x＋acos2x的图象关于直线x＝－π8对称，那么a的值为__________．解析：∵图象关于x＝－π8对称，∴f(0)＝f－π4，即sin0＋acos0＝sin－π2＋acos－π2，∴a＝－1.答案：－18．函数y＝3sin4x＋π3的图象与x轴的所有交点中，距原点最近的点的坐标是__________．解析：y＝3sin4x＋π3＝0，得4x＋π3＝kπ(k∈Z)，∴x＝kπ4－π12，当k＝0时，x＝－π12，当k＝1时，x＝π6，－π12π6，故所求点为－π12，0.答案：－π12，09．函数y＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，3π2φ2π的最小值是－3，周期为π3，且它的图象经过点0，－32，则这个函数的解析式是__________．解析：由已知得A＝3，T＝π3＝2πω，故ω＝6.∴y＝3sin(6x＋φ)．把0，－32代入，得3sinφ＝－32，sinφ＝－12.又3π2φ2π，∴φ＝11π6.∴y＝3sin6x＋11π6.答案：y＝3sin6x＋11π6三、解答题10．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)．(1)若A＝3，ω＝12，φ＝－π3，作出该函数在一个周期内的草图；(2)若y表示一个振动量，其振动频率是2π，当x＝π24时，相位是π3，求ω与φ.解：(1)y＝3sinx2－π3，列出下表：x2－π30π2π3π22πx2π35π38π311π314π3y030－30描出对应的五点(x，y)，用平滑曲线连接各点即得函数图象(如图)．(2)依题意，有ω2π＝2π，ω·π24＋φ＝π3，∴ω＝4，φ＝π6.11．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，－πφ0)．(1)若f(x)的部分图象如图所示，求f(x)的解析式；(2)在(1)的条件下，求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数；(3)若f(x)在0，π3上是单调递增函数，求ω的最大值．解：(1)由条件，知A＝2，T4＝7π12－π3，∴T＝π，∴ω＝2.于是，f(x)＝2sin(2x＋φ)，将点π3，2代入，得φ＝2kπ－π6，k∈Z，又－πφ0，∴φ＝－π6，∴f(x)＝2sin2x－π6.(2)将f(x)＝2sin2x－π6的图象向左平移m个单位可得函数f(x＋m)＝2sin2x＋m－π6＝2sin2x＋2m－π6的图象．∵f(x＋m)是偶函数，∴直线x＝0是f(x＋m)的一条对称轴，∴2sin2m－π6＝±2，∴2m－π6＝kπ＋π2，即m＝kπ2＋π3(k∈Z)，令k＝0可得最小正实数m＝π3.(3)当ω最大时，函数在一个周期内完整单调递增区间就是0，π3，故函数周期T满足π3＝T2，故2πω＝2π3，解得ω＝3.12．已知函数f(x)＝2sin2x＋π6.(1)求f(x)的振幅和最小正周期；(2)求当x∈0，π2时，函数f(x)的值域；(3)当x∈[－π，π]时，求f(x)的单调递减区间．解：(1)振幅为2，T＝2π2＝π.(2)若x∈0，π2，∴π6≤2x＋π6≤7π6，∴－12≤sin2x＋π6≤1，∴－1≤f(x)≤2，∴f(x)的值域为[－1,2]．(3)由π2＋2kπ≤2x＋π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，∴π6＋kπ≤x≤2π3＋kπ，∵－π≤x≤π，∴－5π6≤x≤－π3或π6≤x≤2π3，∴f(x)的单调递减区间为π6，2π3，－5π6，－π3.