2019-2020学年高中数学 第1章 基本初等函数（Ⅱ） 1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性

1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质(一)课后拔高提能练一、选择题1．若函数f(x)＝cos(2x＋φ)是奇函数，则φ可取一个值为()A．－πB．－π2C．π4D．2π解析：选B若f(x)＝cos(2x＋φ)是奇函数，即f(x)关于原点对称，则φ＝kπ＋π2，k∈Z，当k＝－1，φ＝－π2，故选B．2．函数y＝2cosωx＋π3的最小正周期为π2，则ω的值为()A．4B．±12C．14D．±4解析：选D∵T＝2π|ω|＝π2，∴|ω|＝4，ω＝±4.3．函数y＝cos2x的单调递增区间是()A．2kπ＋π2，2kπ＋π(k∈Z)B．2kπ－π2，2kπ＋π(k∈Z)C．kπ，kπ＋π2(k∈Z)D．kπ－π2，kπ(k∈Z)解析：选D令2kπ－π≤2x≤2kπ(k∈Z)⇒kπ－π2≤x≤kπ(k∈Z)，故选D．4．设ω0，函数f(x)＝2cosωx在0，2π3上单调递减，那么ω的值可以是()A．12B．2C．3D．4解析：选A由题可知，f(x)的周期为T＝2πω，∴T2≥2π3，∴πω≥2π3，∴ω≤12，故选A．5．函数y＝cos2x－3cosx＋2的最小值是()A．2B．－14C．6D．0解析：选Dy＝cos2x－3cosx＋2＝cosx－322－14，当cosx＝1时，ymin＝0.故选D．6．下列函数中，图象的一部分如图所示的是()A．y＝sinx＋π6B．y＝sin2x－π6C．y＝cos4x－π3D．y＝cos2x－π6解析：选D易判断该函数周期T＝π12＋π6×4＝π，∴ω＝2，排除选项A和C；结合f－π6＝0可排除选项B，故选D．二、填空题7．(2018·北京卷)设函数f(x)＝cosωx－π6(ω0)，若f(x)≤fπ4对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．解析：因为f(x)≤fπ4对任意的实数x都成立，所以fπ4取最大值，所以π4ω－π6＝2kπ(k∈Z)，∴ω＝8k＋23(k∈Z)，因为ω0，所以当k＝0时，ω取最小值为23.答案：238．定义在R上的偶函数f(x)满足f(π＋x)＝f(π－x)，若x∈[0，π]时解析式为f(x)＝cosx，则f(x)0的解集是________．解析：由f(π＋x)＝f(π－x)知f(x)的图象关于x＝π对称，又f(x)是偶函数，∴f(x)关于y轴的对称，f(2π＋x)＝f[π－(π＋x)]＝f(－x)＝f(x)，∴f(x)是周期函数，T＝2π.当x∈[0，π]时，f(x)＝cosx0，得0≤xπ2，当x∈[－π，0)时，f(x)0得－π2x0，∴f(x)0的解集为－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z.答案：－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z9．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如下图所示．fπ2＝－23，则f(0)＝________.解析：由题图可知，T＝11π12－7π12×2＝2π3，∴2πω＝2π3，∴ω＝3.图象经过7π12，0，∴3×7π12＋φ＝3π2，∴φ＝－π4，fπ2＝Acos3π2－π4＝Acos5π4＝－23，∴－22A＝－23，22A＝23，f(0)＝Acosφ＝Acos－π4＝22A＝23.答案：23三、解答题10．设函数f(x)＝cos3x＋φ－π6(0φπ)是奇函数．(1)求φ；(2)求函数y＝fx＋π12的单调减区间．解：(1)由f(0)＝cosφ－π6＝0,0φπ，得φ＝2π3.(2)由(1)，可得f(x)＝－sin3x，故fx＋π12＝－sin3x＋π4，由2kπ－π2≤3x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，得2kπ3－π4≤x≤2kπ3＋π12，k∈Z.故所求单调减区间是2kπ3－π4，2kπ3＋π12，k∈Z.11．已知函数f(x)＝2cos2x－π4，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f(x)在区间－π8，π2上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值．解：(1)由T＝2πω，得T＝2π2＝π.由2kπ－π≤2x－π4≤2kπ(k∈Z)可得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8(k∈Z)，所以函数的最小正周期为π.单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8(k∈Z)．(2)设t＝2x－π4，由x∈－π8，π2得t∈－π2，3π4，则函数y＝cost在－π2，0上递增，在0，3π4上递减．∴当t＝0即x＝π8时，f(x)max＝2，当t＝3π4即x＝π2时，f(x)min＝－1.12．已知函数f(x)＝2cosωx(ω0)，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求fπ8的值；(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移π6个单位后，再将得到的函数图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求y＝g(x)的单调递减区间．解：(1)由题意可知2πω＝π，∴ω＝2.∴f(x)＝2cos2x.∴fπ8＝2cosπ4＝2.(2)将y＝f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到y＝fx－π6的图象，再将所得函数图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到y＝fx4－π6的图象．所以g(x)＝fx4－π6＝2cos2x4－π6＝2cosx2－π3.当2kπ≤x2－π3≤2kπ＋π(k∈Z)，即4kπ＋2π3≤x≤4kπ＋8π3(k∈Z)时，y＝g(x)单调递减，因此y＝g(x)的单调递减区间为4kπ＋2π3，4kπ＋8π3(k∈Z)．