2019-2020学年高中数学 第1章 基本初等函数（Ⅱ）1.2.3 同角三角函数的基本关系式教案（

1.2.3同角三角函数的基本关系式学习目标核心素养1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．(重点)2．会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．(难点)1.通过同角三角函数基本关系式推理，培养学生的逻辑推理素养．2．借助同角三角函数基本关系式的应用，提升学生的逻辑推理及数学运算核心素养.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.商数关系：sinαcosα＝tan_αα≠kπ＋π2，k∈Z.(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．思考：“同角”一词的含义是什么？[提示]一是“角相同”，如sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．二是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的表达式形式无关，如sin215°＋cos215°＝1，sin2π19＋cos2π19＝1等．1．已知α是第二象限角，sinα＝513，则cosα＝()A．－1213B．－513C．513D．1213A[利用同角三角函数基本关系式中的平方关系计算．因为α为第二象限角，所以cosα＝－1－sin2α＝－1213.]2．已知sinα＝55，则sin4α－cos4α的值为()A．－15B．－35C．15D．35B[∵cos2α＝1－sin2α＝1－15＝45，∴sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝15－45＝－35.]3．若sinα＋3cosα＝0，则cosα＋2sinα2cosα－3sinα的值为________．－511[因为sinα＋3cosα＝0，所以tanα＝－3，因此原式＝1＋2tanα2－3tanα＝1＋2×－32－3×－3＝－511.]应用同角三角函数关系求值【例1】(1)若sinα＝－45，且α是第三象限角，求cosα，tanα的值；(2)若cosα＝817，求tanα的值；(3)若tanα＝－158，求sinα的值．[思路探究]对(1)中明确α是第三象限角，所以只有一种结果．对(2)，(3)中未指出角α所在象限的情况，需按α所在象限讨论，分类求解，一般有两种结果．[解](1)∵sinα＝－45，α是第三象限角，∴cosα＝－1－sin2α＝－35，tanα＝sinαcosα＝－45×－53＝43.(2)∵cosα＝8170，∴α是第一、四象限角．当α是第一象限角时，sinα＝1－cos2α＝1－8172＝1517，∴tanα＝sinαcosα＝158；当α是第四象限角时，sinα＝－1－cos2α＝－1－8172＝－1517，∴tanα＝－158.(3)∵tanα＝－1580，∴α是第二、四象限角．由tanα＝sinαcosα＝－158，sin2α＋cos2α＝1，可得sin2α＝15172.当α是第二象限角时，sinα＝1517；当α是第四象限角时，sinα＝－1517.利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：1已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系；2若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果.1．已知sinαcosα＝－1225，且0απ，求tanα的值．[解]法一：∵sinαcosα＝－1225，sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝1＋2×－1225＝125，∴(sinα＋cosα)2＝125，∴sinα＋cosα＝±15.同理(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋2425＝4925.∵sinαcosα＝－12250,0απ，∴π2απ，∴sinα0，cosα0，∴sinα－cosα＝75.由sinα＋cosα＝±15sinα－cosα＝75，得sinα＝45cosα＝－35或sinα＝35cosα＝－45，∴tanα＝－43或tanα＝－34.法二：∵sinαcosα＝－1225，∴sinαcosαsin2α＋cos2α＝－1225，∴tanαtan2α＋1＝－1225，∴12tan2α＋25tanα＋12＝0，∴(3tanα＋4)(4tanα＋3)＝0，∴tanα＝－43或tanα＝－34.应用同角三角函数关系化简【例2】若sinα·tanα0，化简1－sinα1＋sinα＋1＋sinα1－sinα.[解]∵sinα·tanα0，∴cosα0.原式＝1－sinα1＋sinα1＋sinα2＋1＋sinα1－sinα1－sinα2＝|cosα||1＋sinα|＋|cosα||1－sinα|＝－cosα1＋sinα＋－cosα1－sinα＝－2cosα1－sin2α＝－2cosα.解答此类题目常用的方法有：1．化切为弦，即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．2．对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．3．对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．2．化简：1－tanθ·cos2θ＋1＋1tanθ·sin2θ.[解]原式＝cosθ－sinθcosθ·cos2θ＋sinθ＋cosθsinθ·sin2θ＝cos2θ－sinθ·cosθ＋sin2θ＋sinθ·cosθ＝cos2θ＋sin2θ＝1.三角恒等式的证明[探究问题]1．证明三角恒等式常用哪些方法？[提示](1)从右证到左．(2)从左证到右．(3)证明左右归一．(4)变更命题法．如：欲证明MN＝PQ，则可证MQ＝NP，或证QN＝PM等．2．在三角函数的化简和证明问题中，常利用“1”的代换求解，常见的代换形式有哪些？[提示]sin2α＋cos2α＝1，tanπ4＝1.【例3】求证：(1)sinα－cosα＋1sinα＋cosα－1＝1＋sinαcosα；(2)2(sin6θ＋cos6θ)－3(sin4θ＋cos4θ)＋1＝0.[思路探究]解答本例题可以从左边推到右边，也可以作差比较．关键是利用好“1”的代换和乘法公式等变形技巧．[证明](1)左边＝sinα－cosα＋1sinα＋cosα＋1sinα＋cosα－1sinα＋cosα＋1＝sinα＋12－cos2αsinα＋cosα2－1＝sin2α＋2sinα＋1－1－sin2αsin2α＋cos2α＋2sinαcosα－1＝2sin2α＋2sinα1＋2sinαcosα－1＝2sinαsinα＋12sinαcosα＝1＋sinαcosα＝右边，∴原等式成立．(2)左边＝2[(sin2θ)3＋(cos2θ)3]－3(sin4θ＋cos4θ)＋1＝2(sin2θ＋cos2θ)(sin4θ－sin2θcos2θ＋cos4θ)－3(sin4θ＋cos4θ)＋1＝(2sin4θ－2sin2θcos2θ＋2cos4θ)－(3sin4θ＋3cos4θ)＋1＝－(sin4θ＋2sin2θcos2θ＋cos4θ)＋1＝－(sin2θ＋cos2θ)2＋1＝－1＋1＝0＝右边，∴原等式成立．1．证明恒等式常用的思路是：(1)从一边证到另一边，一般由繁到简；(2)左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；(3)比较法(作差，作比法)．2．常用的技巧有：(1)巧用“1”的代换；(2)化切为弦；(3)多项式运算技巧的应用(分解因式)．3．解决此类问题要有整体代换思想．3．求证：1＋2sinxcosxcos2x－sin2x＝1＋tanx1－tanx.[证明]右边＝1＋sinxcosx1－sinxcosx＝cosx＋sinxcosx－sinx＝cosx＋sinx2cosx－sinxcosx＋sinx＝1＋2sinxcosxcos2x－sin2x＝左边，∴原等式成立．(教师用书独具)1．同角三角函数基本关系式的变形形式(1)平方关系：1－sin2α＝cos2α，1－cos2α＝sin2α.(2)商数关系：sinα＝tanα·cosα，cosα＝sinαtanα.2．已知sinα±cosα，整体代入求值已知sinα±cosα求值的问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解．涉及的三角恒等式：(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα；(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα；(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2；(sinα－cosα)2＝(sinα＋cosα)2－4sinαcosα.所以知道sinα＋cosα，sinα－cosα，sinα·cosα这三者中任何一个，另两个式子的值均可求出．3．应用平方关系式由sinα求cosα或由cosα求sinα时，注意α的范围，如果出现无法确定的情况一定要对α所在的象限进行分类讨论，以便确定其符号.1．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是()A．tanα＝－sinαcosαB．cosα＝－1－sin2αC．sinα＝－1－cos2αD．tanα＝cosαsinαB[由商数关系可知A，D项均不正确，当α为第二象限角时，cosα＜0，sinα＞0，故B项正确．]2．已知α是第四象限角，cosα＝1213，则sinα等于()A.513B．－513C.512D．－512B[由条件知sinα＝－1－cos2α＝－1－12132＝－513.]3．已知sinα＋cosα＝12，则sinαcosα＝________.－38[∵sinα＋cosα＝12，∴(sinα＋cosα)2＝14.∴sin2α＋2sinαcosα＋cos2α＝14.∴1＋2sinαcosα＝14.∴sinαcosα＝－38.]4．已知tanα＝43，且α是第三象限的角，求sinα，cosα的值．[解]由tanα＝sinαcosα＝43得sinα＝43cosα.①又∵sin2α＋cos2α＝1，②由①②得169cos2α＋cos2α＝1.∴cos2α＝925.又∵α是第三象限的角，∴cosα＝－35.∴sinα＝43cosα＝－45.