1.1.1变化率问题

1．1变化率与导数1．1.1变化率问题第一章导数及其应用1.了解导数概念的实际背景．2.会求函数从x1到x2的平均变化率．第一章导数及其应用1．平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率(1)定义式：ΔyΔx＝___________________.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量_______．(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的_______．(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率ΔyΔx＝f（x2）－f（x1）x2－x1表示割线P1P2的_______．f（x2）－f（x1）x2－x1之比快慢斜率1.对平均变化率的理解(1)函数f(x)应在x1，x2处有定义．(2)x2在x1附近，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可正可负．(3)注意变量的对应，若Δx＝x2－x1，则Δy＝f(x2)－f(x1)，而不是Δy＝f(x1)－f(x2)．(4)平均变化率可正可负，也可为零．但是，若函数在某区间上的平均变化率为0，不能说明该函数在此区间上的函数值都相等．比如，f(x)＝x2在区间[－2，2]上的平均变化率为0，但f(x)＝x2在[－2，2]上的图象先下降后上升，值域是[0，4]．2．瞬时速度与平均速度的区别和联系(1)区别：瞬时速度刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关．(2)联系：瞬时速度是平均速度的极限值．[注意]对于任何具体函数或者实际问题，瞬时变化率都是一个精确值，而不是近似值．只是现阶段我们还不能求出瞬时变化率，故只能用平均变化率来估计瞬时变化率．(2)若极限limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx不存在，则称函数y＝f(x)在x＝x0处不可导．(3)在点x＝x0处的导数的定义可变形为f′(x0)＝limΔx→0f（x0－Δx）－f（x0）－Δx或f′(x0)＝limΔx→x0f（x）－f（x0）x－x0.3．对导数概念的理解(1)函数y＝f(x)应在x＝x0及其附近有意义，否则导数不存在．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)＝c(c为常数)在区间[x1，x2]上的平均变化率ΔyΔx为0.()(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．()(3)瞬时变化率是刻画某函数在区间[x1，x2]上函数值的变化快慢的物理量．()(4)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．()答案：(1)√(2)√(3)×(4)×如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是()A．1B．－1C．2D．－2解析：选B.ΔyΔx＝f（3）－f（1）3－1＝1－32＝－1.已知f(x)＝－2x＋1，则f′(0.5)＝________．答案：－2函数y＝f(x)＝1x在x＝1处的瞬时变化率为________．答案：－1探究点1求函数的平均变化率求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．【解】函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为f（x0＋Δx）－f（x0）（x0＋Δx）－x0＝[3（x0＋Δx）2＋2]－（3x20＋2）Δx＝6x0·Δx＋3（Δx）2Δx＝6x0＋3Δx.当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2，2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.求函数平均变化率的步骤(1)求自变量的改变量Δx＝x2－x1.(2)求函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．(3)求平均变化率ΔyΔx＝f（x2）－f（x1）x2－x1.1.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v－1，v－2，v－3，则三者的大小关系为________．解析：v－1＝kOA，v－2＝kAB，v－3＝kBC，由图象知kOAkABkBC.答案：v－1v－2v－32．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为________．解析：因为Δy＝43π×23－43π×13＝28π3，所以ΔyΔx＝28π32－1＝28π3.答案：28π3探究点2求瞬时速度一质点的运动方程为s＝8－3t2，其中s表示位移(单位：m)，t表示时间(单位：s)．(1)求质点在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度；(2)求质点在t＝1时的瞬时速度．【解】(1)质点在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度为ΔsΔt＝8－3（1＋Δt）2－8＋3×12Δt＝(－6－3Δt)(m/s)．(2)由(1)知ΔsΔt＝－6－3Δt.当Δt趋近于0时，ΔsΔt趋近于－6，所以质点在t＝1时的瞬时速度为－6m/s.(1)求运动物体瞬时速度的三个步骤第一步：求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；第二步：求平均速度v－＝ΔsΔt；第三步：求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于的常数v即为瞬时速度，即v＝s′(t0)．(2)求ΔyΔx(当Δx无限趋近于0时)的极限的方法①在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算；②求出ΔyΔx的表达式后，Δx无限趋近于0就是令Δx＝0，求出结果即可．1.一物体的运动方程为s＝7t2－13t＋8，且在t＝t0时的瞬时速度为1，则t0＝________．解析：因为Δs＝7(t0＋Δt)2－13(t0＋Δt)＋8－7t20＋13t0－8＝14t0·Δt－13Δt＋7(Δt)2，所以limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(14t0－13＋7Δt)＝14t0－13＝1，所以t0＝1.答案：12．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2.求此物体在t＝2时的瞬时速度．解：取一时间段[2，2＋Δt]，Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22)＝－Δt－(Δt)2，ΔsΔt＝－Δt－（Δt）2Δt＝－1－Δt，limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(－1－Δt)＝－1，所以当t＝2时，物体的瞬时速度为－1.探究点3利用定义求函数在某点处的导数求函数y＝f(x)＝3x2－2x在x＝1处的导数．【解】Δy＝3(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－(3×12－2×1)＝3(Δx)2＋4Δx，因为ΔyΔx＝3（Δx）2＋4ΔxΔx＝3Δx＋4，所以limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(3Δx＋4)＝4.求函数y＝f(x)在点x0处的导数的步骤简称：一差、二比、三极限．1．设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为()A．2.1B．1.1C．2D．0解析：选A.ΔyΔx＝f（1.1）－f（1）1.1－1＝0.210.1＝2.1.2．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a等于()A．2B．－2C．3D．－3解析：选C.因为f′(1)＝limΔx→0f（1＋Δx）－f（1）Δx＝limΔx→0a（1＋Δx）＋3－（a＋3）Δx＝a.因为f′(1)＝3，所以a＝3.故选C.知识结构深化拓展1.平均变化率与瞬时变化率之间的联系平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”，利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，但效果是“粗糙不精确的”，当平均变化率ΔyΔx中Δx→0时，平均变化率变为瞬时变化率，这时原来的“粗糙”刻画变为了“精确”量化，这个量化值即为limΔx→0ΔyΔx＝f′(x0)．2．一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)从x1到x2的平均变化率的特点一次函数的图象为一条直线，图象上任意两点连线的斜率固定不变，故一次函数在定义域内的任意两个自变量取值之间的平均变化率都等于常数a.