1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(复合函数导数)

3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）'1.fx=c,fx=0;若则;nxxf,Nnxxf.n'n12则若;xcosxf,xsinxf.'则若3;xsinxf,xcosxf.'则若4则x'x5.若fx=a,fx=alna;1.基本初等函数的导数公式：;exf,exf.x'x则若6;alnxxf,xlogxf.'a17则若.xxf,xlnxf.'18则若2fxfxgxfxgx3.gx0.gxgx′′′2.导数的运算法则1.[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g(x)′;2.[f(x).g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g(x)′;如何求函数y=㏑（3x+2）的导数呢？我们无法用现有的方法求函数y=㏑（x+2）的导数.下面，我们先分析这个函数的结构特点.若设u=3x+2，则y=lnu.即y=㏑（3x+2）可以看成是由y=lnu和u=3x+2经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数.•如果把y与u的关系记作y＝f(u)，u与x的关系记作u＝g(x)，复合过程可表示为y＝f(u)＝f[g(x)]＝ln(3x＋2)．•如函数y＝(2x＋3)2，是由y＝u2和u＝2x＋3复合而成的．复合函数一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数.记做y=f(g(x)).复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为xuxy=yu′′′即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.复合函数的导数333xux3y=yu=lnu1ux+2==x+2′′′′′问题解答由此可得，y=㏑(3x+2)对x的导数等于y=㏑u对u的导数与u=3x+2对x的导数的乘积，即例1：说出下列函数分别由哪几个函数复合而成．点拨：找复合关系一般是从外向里分析，每层的主体为基本初等函数，最里层应为关于x的基本函数[解](1)y＝2u，u＝x2＋x；(2)y＝log3u，u＝v，v＝x2＋1；(3)y＝2u，u＝sinv，v＝2x＋π4；(4)y＝sinu，u＝log2v，v＝ex.练习1：指出下列函数的复合关系：(1)y＝(a＋bxn)m；(2)y＝ln3ex＋2；(3)y＝3log2(x2－2x＋3)；(4)y＝sin3(x＋1x)．解：函数的复合关系分别是：(1)y＝um，u＝a＋bxn；(2)y＝lnu，u＝3v，v＝ex＋2；(3)y＝3u，u＝log2v，v＝x2－2x＋3；(4)y＝u3，u＝sinv，v＝x＋1x.例2：求y＝ln(2x＋3)的导数．[分析]复合函数求导三步曲：第一步：分层(从外向内分解成基本函数用到中间变量)．第二步：层层求导(将分解所得的基本函数进行求导)．第三步：作积还原(将各层基本函数的导数相乘，并将中间变量还原)．[解]第一步：y＝lnu，u＝2x＋3；第二步：y′u＝1u，u′x＝2；第三步：y′x＝1u×2＝22x＋3，∴y′＝22x＋3.练习2：求下列函数的导数．(1)y＝sin3x；(2)y＝3－x.[解](1)设y＝sinu，u＝3x，则y′x＝y′u·u′x＝cosu·3＝3cos3x.(2)设y＝u，u＝3－x，则y′x＝y′u·u′x＝12u·(－1)＝－123－x.例3：已知函数f(x)是偶函数，f(x)可导，求证：f′(x)为奇函数．证法一：由于f(x)是偶函数，故f(－x)＝f(x)．对f(－x)＝f(x)两边取x的导数，则f′(－x)·(－x)′＝f′(x)，即f′(－x)＝－f′(x)．因此f′(x)为奇函数．－f′(x)．所以f′(x)为奇函数.类似的结论是：若奇函数f(x)是可导函数，则f′(x)是偶函数．练习3：若函数f(x)是可导函数，求函数y＝f(1x)的导数．[答案]y′＝－1x2f′(1x)1.函数y＝(3x－4)2的导数是()A．4(3x－2)B．6xC．6x(3x－4)D．6(3x－4)解析：∵y′＝[(3x－4)2]′＝2(3x－4)·3＝6(3x－4)．答案：D随堂练习•2．函数y＝2sin3x的导数是()•A．2cos3xB．－2cos3x•C．6sin3xD．6cos3x•解析：∵y′＝(2sin3x)′＝2cos3x·(3x)′＝6cos3x.•答案：D答案：D4、求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离解：设曲线在点平行则切点p到直线2x-y+3=0的距离即为所求00yxp处的切线与2x-y+3=0∵122'xy21220x∴∴10x∴切点为（1，0）∴555mind