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1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(二)(建议用时：40分钟)对应题号考点基础训练能力提升1.计数问题1,106,112.涂色(种植)问题2,812,133.选(抽)取与分配问题3,4,5,79一、选择题1．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，选取其中一条直线和任意一点组成一个平面，则可以确定不同的平面个数为()A．40B．16C．13D．10C解析分两类：第一类，直线a与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第二类，直线b与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．故可以确定8＋5＝13个不同的平面．2．现有4种不同颜色，要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法数为()A．24B．30C．36D．48D解析由题意知本题是一个分步计数问题，需要先给最上面一块着色，有4种结果，再给中间左边一块着色，有3种结果，再给中间右边一块着色有2种结果，最后给下面一块着色，有2种结果．根据分步计数原理知，共有4×3×2×2＝48种结果．3．5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每个同学可自由选择，且必须选择一个知识讲座，则不同的选择种数是()A．54B．45C．5×4×3×2D．5×4B解析5名学生每人都选一个知识讲座，则每人都有4种选择．由分步乘法计数原理知共有4×4×4×4×4＝45种选择．4．安排6名歌手的演出顺序时，要求歌手乙、丙都排在歌手甲的前面或者后面，则不同排法的种数是()A．180B．240C．360D．480D解析第一步，先排甲、乙、丙，使乙、丙都在甲的前面或后面，共有4种排法；第二步，把丁插入到这三人形成的4个空位中，共有4种排法；第三步，把戊插入到前4人形成的5个空位中，共有5种排法；第四步，把己插入到前5人形成的6个空位中，共有6种排法．所以共有排法4×4×5×6＝480种．5．6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学数为()A．1或3B．1或4C．2或3D．2或4D解析设6位同学分别用a，b，c，d，e，f表示．若任意两位同学之间都进行交换，须要进行5＋4＋3＋2＋1＝15次交换，现只进行了13次交换，说明有2次交换没有发生，此时可能有两种情况：(1)由3人构成的2次交换，如a－b和a－c之间的交换没有发生，则收到4份纪念品的有b，c两人．(2)由4人构成的2次交换，如a－b和c－d之间的交换没有发生，则收到4份纪念品的有a，b，c，d四人．6．如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1＜a2且a3＜a2，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数为()A．240种B．204种C．729种D．920种A解析分8类，当中间数为2时，有1×2＝2种；当中间数为3时，有2×3＝6种；当中间数为4时，有3×4＝12种；当中间数为5时，有4×5＝20种；当中间数为6时，有5×6＝30种；当中间数为7时，有6×7＝42种；当中间数为8时，有7×8＝56种；当中间数为9时，有8×9＝72种．故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240种．二、填空题7．从集合{1,2,3，…，10}中，选出5个不同的数组成子集，且使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集共有________个．解析因为1＋10＝11,2＋9＝11,3＋8＝11,4＋7＝11，5＋6＝11，所以从这5组数中各取一个数组成的集合符合题意，根据分步乘法计数原理，共有25＝32个．答案328．如图，用n种不同的颜色为右侧广告牌着色，要求在①②③④四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色，若为广告牌着色的不同方法共有480种，则n＝________.解析由分步乘法计数原理，可知对区域①②③④按顺序着色，共有n(n－1)(n－2)(n－2)＝480种，可求得n＝6.答案69．从{－3，－2，－1,0,1,2,3}中任取3个不同的数作为抛物线方程y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的系数，如果抛物线过原点，且顶点在第一象限，则这样的抛物线共_______条．解析由抛物线过原点知c＝0，顶点在第一象限知a＜0，b＞0.分三步：①a可取值－3，－2，－1，有三种方法；②b可取值1,2,3，有三种方法；③c＝0.故共有3×3×1＝9条不同的抛物线符合题意．答案9三、解答题10．某班一天上午有4节课，每节都需要安排一名教师去上课，现从6名教师A，B，C，D，E，F中安排4人分别上一节课，第一节课只能从A，B两人中安排一人，第四节课只能从A，C两人中安排一人，则不同的安排方案共有多少种？解析分两类：第一类，A上第一节课，则第四节课只能由C上，其余两节课由其他人上，有4×3＝12种安排方案；第二类，B上第一节课，则第四节课有2种安排方案，其余两节课由其他人上，有2×4×3＝24种安排方案．根据分类加法计数原理，不同的安排方案共有12＋24＝36种．11．求正整数540的正约数有多少个？解析由于540＝22×33×5，故540的正约数形式为2a×3b×5c，其中a，b，c∈N，且0≤a≤2,0≤b≤3,0≤c≤1.所以确定540的正约数分三步完成．第一步，取a有3种方法；第二步，取b有4种方法；第三步，取c有2种方法．故由分步乘法计数原理知有3×4×2＝24种方法．所以540的正约数有24个．12．如图所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的2个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有多少种？解析给4个格子编号如图所示，由题意知①号格子有6种不同的涂色方法，②号格子有5种不同的涂色方法，若③号格子与①号格子同色，则④号格子有5种不同的涂色方法(可以与②号同色)，由乘法原理有6×5×5＝150种涂色方法；若③号格子与①号格子不同色，则③号格子有4种不同的涂色方法，此时④号格子只能与①号或②号同色，因而有2种涂色方法，由乘法原理有6×5×4×2＝240种涂色方法．由加法原理知，共有150＋240＝390种不同的涂色方法．四、选做题13．如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则区域A，C涂色不相同的概率为()A．17B．27C．37D．47D解析根据题意和图形可知，5个区域依次为A，B，C，D，E，分4步进行分析：①对于区域A，有5种颜色可选；②对于区域B，与区域A相邻，有4种颜色可选；③对于区域E，与区域A，B相邻，有3种颜色可选；④对于区域D，C，若D与B颜色相同，区域C有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，区域D有2种颜色可选，区域C有2种颜色可选，则区域D，C有3＋2×2＝7种选择，则不同的涂色方案有5×4×3×7＝420种．其中区域A，C涂色不相同的情况有：①对于区域A，有5种颜色可选；②对于区域B，与区域A相邻，有4种颜色可选；③对于区域E，与区域A，B相邻，有3种颜色可选；④对于区域D，C，若D与B颜色相同，区域C有2种颜色可选，若D与B颜色不相同，区域D有2种颜色可选，区域C有1种颜色可选，则区域D，C有2＋2×1＝4种选择，不同的涂色方案有5×4×3×4＝240种，所以区域A，C涂色不相同的概率为P＝240420＝47.故选D项．