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第2课时组合的综合应用学习目标核心素养1.学会运用组合的概念，分析简单的实际问题．(重点)2.能解决无限制条件的组合问题．(难点)通过组合解决实际问题，提升逻辑推理和数学运算的素养.组合数的两个性质【例1】计算：(1)C34＋C35＋C36＋…＋C310；(2)(C98100＋C97100)÷A3101.[思路点拨](1)利用组合数的公式及性质，逐一进行证明或计算．(2)中排列数公式和组合数公式的综合运用．[解](1)C34＋C35＋C36＋…＋C310＝C44＋C34＋C35＋…＋C310－C44＝C45＋C35＋C36＋…＋C310－1＝…＝C411－1＝329.(2)(C98100＋C97100)÷A3101＝(C2100＋C3100)÷A3101＝C3101÷A3101＝16.组合数公式Cmn＝AmnAmm体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时会用到.组合数公式Cmn＝n！m！(n－m)！的主要作用有：1计算m，n较大时的组合数；2对含有字母的组合数的式子进行变形和证明.特别地，当mn2时计算Cmn，用性质Cmn＝Cn－mn转化，减少计算量.1．解方程C3n＋618＝C4n－218.[解]由原方程及组合数性质可知3n＋6＝4n－2或3n＋6＝18－(4n－2)，解得n＝2或n＝8.而当n＝8时，3n＋6＝3018，不符合组合数的定义，故舍去．因此n＝2.有限制条件的组合问题【例2】课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？(1)至少有一名队长当选；(2)至多有两名女生当选；(3)既要有队长，又要有女生当选．[解](1)至少有一名队长含有两种情况：有一名队长和两名队长，故共有C12·C411＋C22·C311＝825种．或采用排除法有C513－C511＝825种．(2)至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故共有C25·C38＋C15·C48＋C58＝966种．(3)分两种情况：第一类：女队长当选，有C412种；第二类：女队长不当选，有C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44种．故共有C412＋C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44＝790种．在本例条件下，至多有1名队长被选上的方法有多少种？[解]分两类情况：第一类：没有队长被选上，从除去两名队长之外的11名学生中选取5人有C511＝462种选法．第二类：一名队长被选上，分女队长被选上和男队长被选上，不同的选法有：C411＋C411＝660种选法．所以至多有1名队长被选上的方法有462＋660＝1122种．常见的限制条件及解题方法1．特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据．2．含有“至多”“至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解．3．分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解．2．某地区发生了特别重大铁路交通事故，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴事故现场抢救伤员，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？[解](1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C24种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C46种选法，所以共有C24·C46＝90种抽调方法．(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法，法一：(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：①选2名外科专家，共有C24·C46种选法；②选3名外科专家，共有C34·C36种选法；③选4名外科专家，共有C44·C26种选法；根据分类加法计数原理，共有C24·C46＋C34·C36＋C44·C26＝185种抽调方法．法二：(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有C610种选法，考虑选取1名外科专家参加，有C14·C56种选法；没有外科专家参加，有C66种选法，所以共有：C610－C14·C56－C66＝185种抽调方法．(3)“至多2名”包括“没有”、“有1名”、“有2名”三种情况，分类解答．①没有外科专家参加，有C66种选法；②有1名外科专家参加，有C14·C56种选法；③有2名外科专家参加，有C24·C46种选法．所以共有C66＋C14·C56＋C24·C46＝115种抽调方法.分组(分配)问题[探究问题]1．把3个苹果平均分成三堆共有几种分法？为什么？[提示]共1种分法．因为三堆无差异．2．若把3个不同的苹果分给三个人，共有几种方法？[提示]共有A33＝3×2×1＝6种分法．【例3】6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；(2)分为三份，每份两本；(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．[思路点拨](1)是平均分组问题，与顺序无关，相当于6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人，可以理解为一个人一个人地来取，(2)是“均匀分组问题”，(3)是分组问题，分三步进行，(4)分组后再分配，(5)明确“至少一本”包括“2、2、2型”、“1、2、3型”、“1、1、4型”．[解](1)根据分步乘法计数原理得到：C26C24C22＝90种．(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有C26C24C22种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A33种方法．根据分步乘法计数原理可得：C26C24C22＝xA33，所以x＝C26C24C22A33＝15.因此分为三份，每份两本一共有15种方法．(3)这是“不均匀分组”问题，一共有C16C25C33＝60种方法．(4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有C16C25C33A33＝360种方法．(5)可以分为三类情况：①“2、2、2型”即(1)中的分配情况，有C26C24C22＝90种方法；②“1、2、3型”即(4)中的分配情况，有C16C25C33A33＝360种方法；③“1、1、4型”，有C46A33＝90种方法．所以一共有90＋360＋90＝540种方法．分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：1完全均匀分组，每组的元素个数均相等.2部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！.3完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.3．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种(用数字作答)．36[分两步完成：第一步，将4名大学生按2,1,1分成三组，其分法有C24·C12·C11A22种；第二步，将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有A33种．所以满足条件的分配方案有C24·C12·C11A22·A33＝36(种)．]1．恰当利用组合数的两个性质，可使问题简化．2．对于含有限制条件的组合问题，要合理分类、必要时可用间接法．3．对于分组问题应注意避免计数的重复或遗漏，对于分配问题解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)C1m＋C2m＝C3m＋1(m≥2且m∈N*)．()(2)从4名男生3名女生中任选2人，至少有1名女生的选法共有C12C16种．()(3)把4本书分成3堆，每堆至少一本共有C24种不同分法．()[答案](1)×(2)×(3)√2．某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工小组，不同的选法有()A．C310种B．A310种C．A13A27种D．C13C27种D[每个被选的人都无顺序差别，是组合问题．分两步完成：第一步，选女工，有C13种选法；第二步，选男工，有C27种选法．故共有C13C27种不同的选法．]3．方程Cx14＝C2x－414的解为________．4或6[由Cx14＝C2x－414，∴x＝2x－4或x＋2x－4＝14，即x＝4或x＝6.]4．高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动．(1)其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2名女生在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2名女生在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2名女生在内，不同的取法有多少种？[解](1)从余下的34名学生中选取2名，有C234＝561(种)．∴不同的取法有561种．(2)从34名可选学生中选取3名，有C334种．或者C335－C234＝C334＝5984种．∴不同的取法有5984种．(3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有C120C215＝2100种．∴不同的取法有2100种．(4)选取2名女生有C120C215种，选取3名女生有C315种，共有选取方式N＝C120C215＋C315＝2100＋455＝2555种．∴不同的取法有2555种．(5)选取3名的总数有C335，因此选取方式共有N＝C335－C315＝6545－455＝6090种．∴不同的取法有6090种．