2019-2020学年高中数学 第1章 计数原理 1.2.2 组合(一)练习 新人教A版选修2-3

1.2.2组合(一)(建议用时：40分钟)考点对应题号基础训练能力提升1.组合的概念12.组合数公式与应用3,103.组合数性质与应用2,4,5,7,8,116,9,12,13一、选择题1．下列问题属于组合的有()①由不在同一直线上的三个点可构成多少条线段？②由不在同一直线上的三个点可构成多少个向量？③用1,2,3,4可组成多少个无重复数字的三位数？④用1,2,3,4可组成多少个三元集合？⑤从6个不同颜色的小球中取出4个的取法数是多少？⑥从6个不同颜色的小球中取出4个放入编号为1,2,3,4的小盒内，每盒1个球，有多少种放法？A．①③⑤B．①④⑤C．②③⑤D．②④⑤B解析②中向量是有方向的，有顺序，故不正确；③中数字有位置上的不同，不是组合；⑥中因为小球颜色不同，结果不同，故不是组合．综上，B项正确．2．C90100－C8999＝()A．C89100B．C9099C．C8999D．C88100B解析由组合数性质知C90100＝C8999＋C9099，所以C90100－C8999＝C9099.故选B项．3．组合数Crn(nr≥1，n，r∈Z)恒等于()A．r＋1n＋1Cr－1n－1B．(r＋1)(n＋1)Cr－1n－1C．r·nCr－1n－1D．nrCr－1n－1D解析Crn＝n！n－r！r！＝nr·n－1！[n－1－r－1]！r－1！＝nrCr－1n－1.故选D项．4．当m，n∈N*，mn时，给出下列式子：①Cn＋2m＋2＝Cn＋2m＋1＋Cn＋1m＋1；②Cn＋1m＋1＝Cn＋1m＋Cnm；③Cn－1m－1＝Cn－1m－2＋Cn－2m－2；④Cmn＝Cmn－1＋Cm－1n－1，其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4B解析由组合数的性质Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n及Cmn要有意义知①②正确，③④错误．故选B项．5．在直角坐标系xOy平面上，平行直线x＝m(m＝0,1,2,3,4)与平行直线y＝n(n＝0,1,2,3,4)组成的图形中，矩形共有()A．25个B．100个C．36个D．200个B解析两条水平线与两条竖直线可组成一个矩形，所以矩形的个数也就是从五条水平线中取两条水平线，从五条竖直线中取两条竖直线的方法，所以共有C25C25＝100个．故选B项．6．从正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点中选取4个作为四面体的顶点，可得到的不同四面体的个数为()A．C48－12B．C48－8C．C48－6D．C48－4A解析从正方体8个顶点中选取4个有C48种方法，其中4点共面的有6个表面，6个对角面．故N＝C48－6－6＝C48－12.故选A项．二、填空题7．若C13n＝C7n，则C2n＝________.解析由C13n＝C7n知n＝20，所以C2n＝C220＝190.答案1908．计算(C2100＋C97100)÷A3101＝________.解析(C2100＋C97100)÷A3101＝(C2100＋C3100)÷A3101＝C3101÷A3101＝A3101A33÷A3101＝16.答案169．沿着一条笔直的公路有9根电线杆，现要移除2根，且被移除的电线杆之间至少还有2根电线杆被保留，则不同的移除方法有________种．解析把6根电线杆放好，7个空，选择两个放入需要移除的电线杆，这样这两根需要移除的电线杆中间至少有一根，然后再把余下一根放到这两根中间去，所以有C27＝21种方法．答案21三、解答题10．解方程组Cyx＋23＝Cy＋1x＋25＝Cy＋2x＋25.解析因为Cy＋1x＋25＝Cy＋2x＋25，所以Cy＋1x＋2＝Cy＋2x＋2＝Cx＋2－y＋2x＋2.所以y＋1＋y＋2＝x＋2，即x＝2y＋1，代入Cyx＋23＝Cy＋1x＋25，得5Cy2y＋3＝3Cy＋12y＋3，即52y＋3！y！y＋3！＝32y＋3！y＋1！y＋2！，也即5(y＋1)＝3(y＋3)，解得y＝2，则x＝5.故方程组的解是x＝5，y＝2.11．一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解析(1)从口袋内8个球中取3个，共有取法C38＝8×7×63！＝56种．(2)从口袋内取出的3个球中有1个是黑球，需从7个白球中取出2个球，所以共有取法C27＝7×62！＝21种．(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是从7个白球中取出3个球，所以共有取法C37＝7×6×53！＝35种．12．从5双不同的手套中任取4只，这4只手套中至少有2只手套原来是同一双的可能取法有多少种？解析取出的4只手套至少有2只手套原来是同一双的有两类：一类是4只恰为原来的两双；另一类是4只仅有2只原来是同一双．第一类可以直接从5双中任取2双，此时有C25＝10种取法；第二类可以直接从5双中先取1双，再从剩下的4双中取2双，最后从这4只中取不成双的2只，此时有C15C24C12C12＝120种取法．由分类加法计数原理知共有10＋120＝130种．四、选做题13．设n∈N*且n≥4，集合M＝{1,2,3，…，n}的所有3个元素的子集记为A1，A2，…，AC3n.当n＝4时，求集合A1，A2，…，AC3n中所有元素之和．解析因为含元素1的子集有C23个，同理，含2,3,4的子集也各有C23个，于是所求元素之和为(1＋2＋3＋4)×C23＝30.