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1.2.3排列与组合的综合应用(建议用时：40分钟)对应题号考点基础训练能力提升1.分组与分配问题1,2,6,7,811,132.排列、组合的综合问题3,4,5,9,1012一、选择题1．编号为1,2,3,4,5的5个人分别去坐编号为1,2,3,4,5的5个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有()A．10种B．20种C．30种D．60种B解析5个人有两个人的编号与座位号相同，此两人的选法共有C25种；假如编号1,2的人坐的号为1,2，其余三人的编号与座号不同，共有2种坐法．所以符合题意的坐法为2C25＝2×10＝20种．2．现将2名医生和4名护士分配到2所学校给学生体检，每校分配1名医生和2名护士，则不同的分配方法共有()A．6种B．12种C．18种D．24种B解析只需让第一所学校选取即可．先从2名医生中选取1名，不同的选法有C12＝2种；再从4名护士中选取2名，不同的选法有C24＝6种．由分步乘法计数原理可得，不同的分配方案有2×6＝12种．3．从6人中选出4人参加数学、物理、化学、英语比赛，每人只能参加其中一项，其中甲、乙两人都不能参加英语比赛，则不同的参赛方案为()A．96种B．180种C．240种D．288种C解析方法一有三种情况：(1)甲、乙都不参加比赛有A44种；(2)甲、乙中只有一人参加比赛有C12C13A34种；(3)甲、乙都参加比赛有A23A24种．故共有A44＋C12C13A34＋A23A24＝240种．方法二先选1人参加英语比赛有C14种，再从剩下5人中选3人参加数学、物理、化学比赛有A35种．故共有C14A35＝240种．4．从1,3,5,7,9中任取3个数字，从2,4,6,8中任取两个数字，一共可以组成没有重复数字的五位偶数的个数为()A．2880B．7200C．1440D．60A解析先取后排，一共有C24C35A12A44＝2880个．5．将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子A，B，C，D，E中，恰有两个球放入同一个盒子的概率为()A．725B．1225C．715D．1215B解析基本事件总数：3个球放入五个盒子中有53＝125个，两个球放入同一个盒子有C23A25＝60个．故所求概率P＝60125＝1225.6．两个三口之家拟乘两艘不同的游艇一起水上游，每艘游艇最多只能坐4个人，其中两个小孩(另4个为两对夫妇)不能独坐一艘游艇，则不同的乘坐方法种数是()A．48B．49C．68D．69A解析①两船分别坐2人、4人，有C46·C22·A22－C22·A22＝28种；②两船分别坐3人、3人，有C36·C33A22·A22＝20种．所以不同的方法共48种．二、填空题7．学校在高一年级开设选修课程，其中历史开设了三个不同的班，选课结束后，有5名同学要求改修历史，但历史选修班每班至多可接收2名同学，那么安排好这5名同学的方案有________种(用数字作答)．解析根据题意，分2步进行分析：①将5名同学分成1,2,2的三组，有C25C23C11A22＝15种分组方法；②将分好的3组全排列，对应3个班级，有A33＝6种情况，则安排好这5名同学的方案有15×6＝90种．答案908．北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为________.解析首先从14人中选出12人共C1214种，然后将12人平均分为3组共C412C48C44A33种，然后这两步相乘得C1214C412C48A33.将三组分配下去共C1214C412C48A33A33＝C1214C412C48种．答案C1214C412C489．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，则不同的获奖情况一共有______种(用数字作答)．解析分两种情况：一种是有一人获得两张有奖的奖券，一人获得一张有奖的奖券，有C23A24＝36种；另一种是三人各获得一张有奖的奖券，有A34＝24种．故共有60种获奖情况．答案60三、解答题10．有10个不同的试验产品，其中有4个次品，6个正品，现每次取1个测试，直到4个次品全测出为止，试问4个次品恰在第五次测试完后被全部检测出来的不同情形有多少种？解析方法一设想有五个位置，先从6个正品中任选1个，放在前四个位置的任一个上，有C16C14种方法；再把4个次品在剩下的四个位置上任意排列，有A44种排法．故不同的情形共有C16C14A44＝576种．方法二设想有五个位置，先从4个次品中任选1个，放在第五个位置上，有C14种方法；再从6个正品中任选1个，和剩下的3个次品一起在前四个位置上任意排列，有C16A44种方法．故不同的情形共有C14C16A44＝576种．11．号码为1,2,3,4,5,6的六个大小相同的球，放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子中，每个盒子只能放一个球．(1)若1号球只能放在1号盒子中，2号球只能放在2号盒子中，则不同的放法有多少种？(2)若3号球只能放在1号或2号盒子中，4号球不能放在4号盒子中，则不同的放法有多少种？(3)若5,6号球只能放入号码是相邻数字的两个盒子中，则不同的放法有多少种？解析(1)1号球放在1号盒子中，2号球放在2号盒子中，其余球任意放，有A44＝24种．(2)3号球只能放在1号或2号盒子中，则3号球有2种选择，4号球不能放在4号盒子中，则有4种选择，其余球任意放，则3号球只能放在1号或2号盒子中，4号球不能放在4号盒子中有C12C14A44＝192种．(3)号码是相邻数字的两个盒子有1与2、2与3、3与4、4与5、5与6，共5种情况，则符合题意的放法有C15A22A44＝240种.12．各位数字互不相同，且能被3整除的四位数有多少个？解析若正整数的各位数字之和为3的倍数，则该正整数必是3的倍数，据此0～9中以被3除的余数分类，得被3除余数为0的数的集合为A＝{0,3,6,9}，被3除余数为1的数的集合为B＝{1,4,7}，被3除余数为2的数的集合为C＝{2,5,8}．①当四位数上的数字都从A中取，则四位数有C13A33种；②当四位数上的数字从A中取2个，从B，C中各取一个，则四位数有C13C13C13C13A33＋C23C13C13A44种；③当四位数上的数字从A中取1个，从B或C中取3个，则四位数有2C13A33＋2C13A44种；④当四位数上的数字从B和C中各取2个，则四位数有C23C23A44种．故符合条件的四位数有C13A33＋C13C13C13C13A33＋C23C13C13A44＋2C13A33＋2C13A44＋C23C23A44＝1548个．四、选做题13．某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“雅荷文学社”“青春风街舞社”“羽乒协会”“演讲团”“吉他协会”五个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这6个人中至多有1人参加“演讲团”的不同参加方法数为()A．4680B．4770C．5040D．5200C解析若有1人参加“演讲团”，则从6人中选1人参加该社团，其余5人去剩下4个社团，人数安排有2种情况：1,1,1,2和1,2,2，故1人参加“演讲团”的不同参加方法数为C16C25C23A22A34＋C15C14C13A33A44＝3600；若无人参加“演讲团”，则6人参加剩下4个社团，人数安排有2种情况：1,1,2,2和2,2,2，故无人参加“演讲团”的不同参加方法数为C26C24C12A22A22A44＋C26C24C22A33A34＝1440.故满足条件的方法数为3600＋1440＝5040.