2019-2020学年高中数学 第1章 计数原理 1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质练习 新

1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质(建议用时：40分钟)考点对应题号基础训练能力提升1.杨辉三角与二项展开式的系数和1,2,4,792.二项式系数的性质及其综合应用3,5,8,10,116,12,13一、选择题1．已知x＋33xn展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n＝()A．4B．5C．6D．7C解析二项式x＋33xn的各项系数的和为(1＋3)n＝4n，二项式x＋33xn的各项二项式系数的和为(1＋1)n＝2n，因为各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，所以4n2n＝2n＝64，解得n＝6.故选C项．2．设(1＋2x)n的展开式中各项二项式系数之和为an，(3＋x)5的展开式中各项系数之和为m，若an＝m，则n的值为()A．11B．10C．6D．5B解析由题可得an＝2n，令x＝1，得(3＋x)5的展开式中各项系数之和为m＝(3＋1)5＝45，所以an＝2n＝45＝210，解得n＝10.故选B项．3．设(1＋x)8＝a0＋a1x＋…＋a8x8，则a0，a1，…，a8中奇数的个数为()A．2B．3C．4D．5A解析由(1＋x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，可知a0，a1，a2，…，a8均为二项式系数，依次是C08，C18，C28，…，C88.因为C08＝C88＝1，C18＝C78＝8，C28＝C68＝28，C38＝C58＝56，C48＝70，所以a0，a1，a2，…，a8中奇数只有a0，a8.故选A项．4．已知x－ax8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是()A．28B．38C．1或38D．1或28C解析Tk＋1＝Ck8x8－k－axk＝Ck8(－a)kx8－2k，令8－2k＝0，得k＝4，所以展开式中常数项为C48(－a)4＝1120，从而a＝±2.当a＝2时，x－2x8展开式中各项系数和为1；当a＝－2时，x＋2x8展开式中各项系数和为38.5．若C2n＋620＝Cn＋220(n∈N*)，且(2－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝()A．81B．27C．243D．729A解析由题知2n＋6＝n＋2，所以n＝－4(舍)，或2n＋6＋n＋2＝20，所以n＝4，此时令x＝－1，则a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝34＝81.故选A项．6．在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝()A．45B．60C．120D．210C解析含xmyn项的系数为f(m，n)＝Cm6Cn4，故原式＝C36C04＋C26C14＋C16C24＋C06C34＝120.故选C项．二、填空题7．若(x－2)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________(用数字作答)．解析令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝－1，令x＝0，得a0＝(－2)5＝－32，所以a5＋a4＋a3＋a2＋a1＝－1－a0＝31.答案318.在x2－13xn的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为________.解析依题意得n2＋1＝5，所以n＝8，所以二项式为x2－13x8，其展开式的通项公式为Tr＋1＝(－1)r128－r·Cr8x8－4r3，令8－4r3＝0，解得r＝6，故常数项为(－1)6·122C68＝7.答案79．若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值是________.解析令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9；令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－…－a9.故(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－…－a9)＝(2＋m)9m9，所以(2＋m)9m9＝39，所以(2＋m)m＝3，所以m＝－3或m＝1.答案－3或1三、解答题10．已知x－2x2n(n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和；(2)求展开式中含x32的项．解析由题意知，第五项系数为C4n·(－2)4，第三项的系数为C2n·(－2)2，则有C4n·－24C2n·－22＝101，化简得n2－5n－24＝0，解得n＝8或n＝－3(舍去)．(1)令x＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1.(2)通项公式Tr＋1＝Cr8·(x)8－r·－2x2r＝Cr8·(－2)r·x8－r2－2r(r＝0,1，…，8)，令8－r2－2r＝32，则r＝1，故展开式中含x32的项为T2＝－16x32.11．将数(k＋1)Ckn(n∈N*,k＝0,1,…，n)排成下表．第一行12第二行143第三行1694第四行1818165……第n行12C1n3C2n…(n＋1)Cnn求第n行的各数之和．解析因为(k＋1)Ckn＝kCkn＋Ckn＝nCk－1n－1＋Ckn，k≥1，所以第n行的各数之和为1＋2C1n＋3C2n＋…＋(k＋1)·Ckn＋…＋(n＋1)Cnn＝1＋(nC0n－1＋C1n)＋(nC1n－1＋C2n)＋…＋(nCk－1n－1＋Ckn)＋…＋(nCn－1n－1＋Cnn)＝n(C0n－1＋C1n－1＋…＋Ck－1n－1＋…＋Cn－1n－1)＋1＋C1n＋C2n＋…＋Ckn＋…＋Cnn＝n·2n－1＋2n＝(n＋2)·2n－1.12．已知2x－1xn展开式中二项式系数之和比(2x＋xlgx)2n展开式中奇数项的二项式系数之和少112，第二个展开式中二项式系数最大的项的值为1120，求x.解析依题意得2n－22n－1＝－112，整理得(2n－16)(2n＋14)＝0，解得n＝4，所以第二个展开式中二项式系数最大的项是第五项．依题意得C48(2x)4(xlgx)4＝1120，化简得x4(1＋lgx)＝1，所以x＝1或4(1＋lgx)＝0，故所求x的值为1或110.四、选做题13．在(3x－2y)20的展开式中，求出满足下列条件的项．(1)二项式系数最大的项；(2)系数绝对值最大的项；(3)系数最大的项．解析(1)二项式系数最大的项是第11项，T11＝C1020·310(－2)10x10y10＝C1020·610x10y10.(2)设系数绝对值最大的项是第k＋1项，于是Ck20·320－k·2k≥Ck＋120·319－k·2k＋1，Ck20·320－k·2k≥Ck－120·321－k·2k－1，化简得3k＋1≥220－k，221－k≥3k，解得725≤k≤825.所以k＝8，即T9＝C820·312·28·x12y8是系数绝对值最大的项．(3)由于系数为正的项为奇数项，故可设第2k－1项系数最大，于是C2k－220·322－2k·22k－2≥C2k－420·324－2k·22k－4，C2k－220·322－2k·22k－2≥C2k20·320－2k·22k，化简得10k2＋143k－1077≤0，10k2＋163k－924≥0.又k为不超过11的正整数，可得k＝5，即第2×5－1＝9项系数最大，T9＝C820·312·28·x12y8.