第1课时排列与排列数公式学习目标核心素养1.理解排列、排列数的定义,掌握排列数公式及推导方法.(重点)2.能用枚举法,写出一个排列问题的所有的排列.(易混点)3.能用排列数公式解决无限制条件的排列问题.(难点)通过对排列和排列数公式的学习,培养“逻辑推理”、“数学运算”的数学素养.1.排列(1)一般地,从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫作从n个不同的元素中任意取出m个元素的一个排列.(2)排列相同的条件:两个排列相同,当且仅当两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.思考1:怎样判断一个问题是排列问题?[提示]关键是看它有无顺序,有顺序的是排列问题,否则不是.思考2:若两个排列的元素相同,那么这两个排列是相同的排列吗?[提示]不是,因为相同的两个排列不仅元素相同,而且元素的排列顺序相同.2.排列数与排列数公式排列数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数排列数表示法Amn排列数公式乘积式Amn=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)阶乘式Amn=n!n-m!性质Ann=n!,0!=1备注n,m∈N+,m≤n思考3:排列与排列数有何区别?[提示]“一个排列”是指:从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,不是数;“排列数”是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,是一个数.所以符号Amn只表示排列数,而不表示具体的排列.1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)1,2,3与3,2,1为同一排列.()(2)在一个排列中,同一个元素不能重复出现.()(3)从1,2,3,4中任选两个元素,就组成一个排列.()(4)从5个同学中任选2个同学分别参加数学和物理竞赛的所有不同的选法是一个排列问题.()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√2.甲、乙、丙三名同学排成一排,不同的排列方法有()A.3种B.4种C.6种D.12种C[由排列定义得,共有A33=6种排列方法.]3.90×91×92×…×100可以表示为()A.A10100B.A11100C.A12100D.A13100B[由排列数公式得原式为A11100,故选B.]4.A24=________,A33=________.126[A24=4×3=12;A33=3×2×1=6.]排列的概念问题【例1】判断下列问题是否为排列问题.(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同);(2)选2个小组分别去植树和种菜;(3)选2个小组去种菜;(4)选10人组成一个学习小组;(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员;(6)某班40名学生在假期相互通信.[解](1)中票价只有三种,虽然机票是不同的,但票价是一样的,不存在顺序问题,所以不是排列问题.(2)植树和种菜是不同的,存在顺序问题,属于排列问题.(3)(4)不存在顺序问题,不属于排列问题.(5)中每个人的职务不同,例如甲当班长或当学习委员是不同的,存在顺序问题,属于排列问题.(6)A给B写信与B给A写信是不同的,所以存在着顺序问题,属于排列问题.所以在上述各题中(2)(5)(6)属于排列问题.判定是不是排列问题,要抓住排列的本质特征,第一取出的元素无重复性,第二取出的元素必须与顺序有关才是排列问题.元素相同且排列顺序相同才是相同的排列.元素有序还是无序是判定是否为排列问题的关键.1.给出以下问题:(1)从3,5,7,9四个数字中任取两个数作为对数的底数和真数,有多少个不同的值?(2)从0到9这十个数字中任取两个数,组成点的坐标,可得到多少个不同的点的坐标?其中是排列问题的是________(只填序号).(1)(2)[(1)是.对数值与底数和真数的取值不同有关系,与顺序有关.同理(2)也是排列问题.]排列的列举问题【例2】写出下列问题的所有排列.(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数,共有多少个不同的两位数?(2)写出从4个元素a,b,c,d中任取3个元素的所有排列.[解](1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43,共有12个不同的两位数.(2)由题意作树形图,如图.故所有的排列为:abc,abd,acb,acd,adb,adc,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc,cab,cad,cba,cbd,cda,cdb,dab,dac,dba,dbc,dca,dcb,共有24个.利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略(1)适用范围:“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时,是一种比较有效的表示方式.(2)策略:在操作中先将元素按一定顺序排出,然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类,再安排第二个元素,并按此元素分类,依次进行,直到完成一个排列,这样能做到不重不漏,然后再按树形图写出排列.2.A,B,C,D四名同学排成一排照相,要求自左向右,A不排第一,B不排第四,共有________种不同的排列方法.[解]因为A不排第一,排第一位的情况有3类(可从B,C,D中任选一人排),而此时兼顾分析B的排法,列树形图如图.所以符合题意的所有排列是:BADC,BACD,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CBAD,CBDA,CDBA,DABC,DBAC,DBCA,DCBA共14种.排列数公式的推导及应用[探究问题]两个同学从写有数字1,2,3,4的卡片中选取卡片进行组数字游戏.1.从这4个数字中选出2个或3个分别能构成多少个无重复数字的两位数或三位数?[提示]从这4个数字中选出2个能构成A24=4×3=12个无重复数字的两位数;若选出3个能构成A34=4×3×2=24个无重复数字的三位数.2.由探究1知A24=4×3=12,A34=4×3×2=24,你能否得出A2n的意义和A2n的值?[提示]A2n的意义:假定有排好顺序的2个空位,从n个元素a1,a2,…,an中任取2个元素去填空,一个空位填一个元素,每一种填法就得到一个排列;反过来,任一个排列总可以由这样的一种填法得到,因此,所有不同的填法的种数就是排列数A2n.由分步乘法计数原理知完成上述填空共有n(n-1)种填法,所以A2n=n(n-1).3.你能写出Amn的值吗?有什么特征?若m=n呢?[提示]Amn=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)(m,n∈N+,m≤n).(1)公式特征:第一个因数是n,后面每一个因数比它前面一个少1,最后一个因数是n-m+1,共有m个因数;(2)全排列:当m=n时,即n个不同元素全部取出的一个排列.全排列数:Ann=n·(n-1)·(n-2)·…·2·1=n!(叫作n的阶乘).另外,我们规定0!=1.所以Amn=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=n!n-m!=AnnAn-mn-m.【例3】计算下列各题:(1)A310;(2)A59+A49A610-A510;(3)Am-1n-1·An-mn-mAn-1n-1.思路探究:对(1)(2),直接用排列数的连乘形式公式计算;对(3),可利用排列数阶乘形式的公式证明.[解](1)A310=10×9×8=720.(2)A59+A49A610-A510=9×8×7×6×5+9×8×7×610×9×8×7×6×5-10×9×8×7×6=9×8×7×6×5+110×9×8×7×6×5-1=610×4=320.(3)Am-1n-1·An-mn-mAn-1n-1=n-1![n-1-m-1]!·(n-m)!·1n-1!=1.排列数的计算方法(1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行.应用时注意:连续正整数的积可以写成某个排列数,其中最大的是排列元素的总个数,而正整数(因式)的个数是选取元素的个数,这是排列数公式的逆用.(2)应用排列数公式的阶乘形式时,一般写出它们的式子后,再提取公因式,然后计算,这样往往会减少运算量.3.若Am10=10×9×…×5,则m=________.6[由排列数公式,得m=6.]4.计算:2A59+3A699!-A610=________.1[法一:原式=2×9×8×7×6×5+3×9×8×7×6×5×49×8×7×…×1-10×9×…×5=2+124×3×2-10=1414=1.法二:原式=2×9!4!+3×9!3!9!-10!4!=24!+33!1-104!=2+3×44!-10=1.]1.判断一个具体问题是否为排列问题的方法2.排列数公式的应用(1)排列数的第一个公式Amn=n(n-1)…(n-m+1)适用于具体计算以及解当m较小时的含有排列数的方程和不等式.在运用该公式时要注意它的特点:从n起连续写出m个数的乘积即可.(2)排列数的第二个公式Amn=n!n-m!适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等.1.设a∈N+,且a27,则(27-a)(28-a)·…·(34-a)等于()A.A827-aB.A27-a34-aC.A734-aD.A834-aD[8个括号里面是连续的自然数,依据排列数的概念,选D.]2.从1,2,3,4四个数字中,任选两个数做加、减、乘、除运算,分别计算它们的结果,在这些问题中,有几种运算可以看作排列问题()A.1B.2C.3D.4B[因为加法和乘法满足交换律,所以选出两个数做加法和乘法时,结果与两数字位置无关,故不是排列问题.而减法、除法与两数字的位置有关,故是排列问题.]3.5本不同的课外读物分给5位同学,每人一本,则不同的分配方法有________种.120[利用排列的概念可知不同的分配方法有A55=120种.]4.已知A2n=7A2n-4,则n的值为________.7[由排列数公式,得n(n-1)=7(n-4)(n-5),n∈N+.∴3n2-31n+70=0,解得n=7或n=103(舍).]5.从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位不同的数,一共可以组成多少个?[解]由题意作“树形图”,如下.故组成的所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43,共有12个.