搜索
第2课时排列的应用学习目标核心素养1.进一步加深对排列概念的理解．(重点)2．掌握几种有限制条件的排列问题的处理方法，能应用排列数公式解决简单的实际问题．(难点)通过对排列应用的学习，培养“逻辑推理”、“数学建模”、“数学运算”的数学素养.1．解简单的排列应用题的基本思想2．解简单的排列应用题，首先必须认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序．如果是的话，再进一步分析，这里n个不同的元素指的是什么，以及从n个不同的元素中任取m个元素的每一种排列对应的是什么事情，然后才能运用排列数公式求解．思考：怎样判断一个问题是排列问题？[提示]关键是看它有无顺序，有顺序的是排列问题，否则不是．1．从n个人中选出2个，分别从事两项不同的工作，若选派的种数为72，则n的值为()A．6B．8C．9D．12C[由A2n＝72，得n(n－1)＝72，解得n＝9(舍去n＝－8)．]2．12名选手参加校园歌手大奖赛，大赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，则不同的获奖种数是()A．123B．312C．A312D．12＋11＋10C[从12名选手中选出3名获奖并安排奖次，共有A312种不同的获奖情况．]3．一位老师和5位同学站成一排照相，老师不站在两端的排法种数为()A．450B．460C．480D．500C[先排老师有A14种排法，剩下同学有A55种排法．共有A14A55＝480种排法．]4．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三种不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有________种．186[可选用间接法解决：先求出从7人中选出3人的方法数，再求出从4名男生中选出3人的方法数，两者相减即得结果．A37－A34＝186(种)．]排队问题【例1】3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．(1)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；(2)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；(3)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；(4)全体站成两排，前排3人，后排4人，其中女生甲和女生乙排在前排，另有2名男生丙和丁因个子高要排在后排．[解](1)先考虑甲有A13种方案，再考虑其余六人全排列，故N＝A13A66＝2160(种)．(2)先安排甲、乙有A22种方案，再安排其余5人全排列，故N＝A22·A55＝240(种)．(3)法一：(特殊元素优先法)按甲是否在最右端分两类第一类，甲在最右端有N1＝A66(种)，第二类，甲不在最右端时，甲有A15个位置可选，而乙也有A15个位置，而其余全排列A55，有N2＝A15A15A55，故N＝N1＋N2＝A66＋A15A15A55＝3720(种)．法二：(间接法)无限制条件的排列数共有A77，而甲在左端或乙在右端的排法都有A66，且甲在左端且乙在右端的排法有A55，故N＝A77－2A66＋A55＝3720(种)．法三：(特殊位置优先法)按最左端优先安排分步．对于左端除甲外有A16种排法，余下六个位置全排有A66，但减去乙在最右端的排法A15A55种，故N＝A16A66－A15A55＝3720(种)．(4)将两排连成一排后原问题转化为女生甲、乙要排在前3个位置，男生丙、丁要排在后4个位置，因此先排女生甲、乙有A23种方法，再排男生丙、丁有A24种方法，最后把剩余的3名同学全排列有A33种方法．故N＝A23·A24·A33＝432(种)．排队问题的解题策略1合理归类，要将题目大致归类，常见的类型有特殊元素、特殊位置、相邻问题、不相邻问题等，再针对每一类采用相应的方法解题.2恰当结合，排列问题的解决离不开两个计数原理的应用，解题过程中要恰当结合两个计数原理.3正难则反，这是一个基本的数学思想，巧妙应用排除法可起到事半功倍的效果.1．排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单．(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？[解](1)先排歌唱节目有A55种，歌唱节目之间以及两端共有6个空位，从中选4个放入舞蹈节目，共有A46种方法，所以任何两个舞蹈节目不相邻的排法有A55·A46＝43200种方法．(2)先排舞蹈节目有A44种方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入．所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有A44·A55＝2880种方法．排数问题[探究问题]1．偶数的个位数字有何特征？从1,2,3,4,5中任取两个不同数字能组成多少个不同的偶数？[提示]偶数的个位数字一定能被2整除．先从2,4中任取一个数字排在个位，共2种不同的排列，再从剩余数字中任取一个数字排在十位，共4种排法，故从1,2,3,4,5中任取两个数字，能组成2×4＝8(个)不同的偶数．2．在一个三位数中，身居百位的数字x能是0吗？如果在0～9这十个数字中任取不同的三个数字组成一个三位数，如何排才能使百位数字不为0?[提示]在一个三位数中，百位数字不能为0，在具体排数时，从元素0的角度出发，①选0时，可先将0排在十位或个位的一个位置，其余数字可排百位、个位(或十位)位置．②不选0时，从9个数字中任取三个数字排百位，十位与个位位置；从“位置”角度出发可先从1～9这9个数字中任取一个数字排百位，然后再从剩余9个数字中任取两个数字排十位与个位位置．【例2】用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的(1)六位奇数？(2)个位数字不是5的六位数？思路探究：这是一道有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或特殊位置优先安排的原则．另外，还可以用间接法求解．[解](1)法一：从特殊位置入手(直接法)分三步完成，第一步先填个位，有A13种填法，第二步再填十万位，有A14种填法，第三步填其他位，有A44种填法，故共有A13A14A44＝288(个)六位奇数．法二：从特殊元素入手(直接法)0不在两端有A14种排法，从1,3,5中任选一个排在个位有A13种排法，其他各位上用剩下的元素做全排列有A44种排法，故共有A14A13A44＝288(个)六位奇数．法三：排除法6个数字的全排列有A66个，0,2,4在个位上的六位数为3A55个，1,3,5在个位上，0在十万位上的六位数有3A44个，故满足条件的六位奇数共有A66－3A55－3A44＝288(个)．(2)法一：排除法0在十万位的六位数或5在个位的六位数都有A55个，0在十万位且5在个位的六位数有A44个．故符合题意的六位数共有A66－2A55＋A44＝504(个)．法二：直接法十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同．因此需分两类：第一类：当个位排0时，符合条件的六位数有A55个．第二类：当个位不排0时，符合条件的六位数有A14A14A44个．故共有符合题意的六位数A55＋A14A14A44＝504(个)．解排数字问题常见的解题方法1“两优先排法”：特殊元素优先排列，特殊位置优先填充.如“0”不排“首位”.2“分类讨论法”：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计数原理进行，要注意以下两点：一是分类标准必须恰当；二是分类过程要做到不重不漏.3“排除法”：全排列数减去不符合条件的排列数.4“位置分析法”：按位置逐步讨论，把要求数字的每个数位排好.2．用1,2,3,4,5,6,7这七个数字组成没有重复数字的四位数．(1)这些四位数中偶数有多少个？能被5整除的有多少个？(2)这些四位数中大于6500的有多少个？[解](1)偶数的个位数只能是2,4,6，有A13种排法，其他位上有A36种排法，由分步乘法计数原理知，共有四位偶数A13·A36＝360(个)．能被5整除的数个位必须是5，故有A36＝120(个)．(2)最高位上是7时大于6500，有A36个；最高位上是6时，百位上只能是7或5，故有2A25个．故由分类加法计数原理知，这些四位数中大于6500的共有A36＋2A25＝160(个)．求解排列问题的主要方法：直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反，等价转化的方法1.6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为()A．36B．120C．720D．240C[由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为A66＝720.]2．要从a，b，c，d，e5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数是()A．20B．16C．10D．6B[不考虑限制条件有A25种选法，若a当副组长，有A14种选法，故a不当副组长，有A25－A14＝16(种)选法．]3．在数字1,2,3与符号⊗，λ五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是________．12[符号⊗，λ只能在两个数之间，这是间隔排列，排法有A33A22＝12种．]4．用1,2,3,4,5,6,7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有________个．144[先排奇数位有A44种，再排偶数位有A33种，故共有A44A33＝144个．]5．某沿海城市举行火炬传递接力活动，因洪水过大，将传递路线缩减为6段，分别由6名火炬手完成，如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有多少种？[解]先安排最后一棒(A12)，再安排第一棒(A12)，最后安排中间四棒(A44)，所以不同的传递方案有A12A12A44＝96(种).