2019-2020学年高中数学 第1章 解三角形 1.1.1 正弦定理（第1课时）正弦定理（1）学案

第1课时正弦定理(1)学习目标核心素养1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明(难点).2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题(重点)．1.通过对正弦定理的推导及应用正弦定理判断三角形的形状，培养学生逻辑推理的核心素养.2.借助利用正弦定理求解三角形的边长或角的大小的学习，培养了学生数学运算的核心素养.1．正弦定理思考：如图所示，在Rt△ABC中，asinA，bsinB，csinC各自等于什么？[提示]asinA＝bsinB＝csinC＝c.2．解三角形(1)一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．(2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．思考：利用正弦定理可以解决哪两类有关三角形问题？[提示]利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角．1．在△ABC中，若角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列各式一定成立的是()A．ab＝cosAcosBB．ab＝sinAsinBC．asinB＝bcosAD．acosB＝bsinAB[在△ABC中，由正弦定理asinA＝bsinB，得ab＝sinAsinB.]2．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝32，则AC＝________．23[由正弦定理得：32sin60°＝ACsin45°，所以AC＝32×sin45°sin60°＝23.]3．在△ABC中，A＝45°，c＝2，则AC边上的高等于_________．2[AC边上的高为ABsinA＝csinA＝2sin45°＝2.]4．在△ABC中，若a＝3，b＝3，A＝π3，则C＝________．π2[由正弦定理得：3sinπ3＝3sinB，所以sinB＝12.又ab，所以AB，所以B＝π6，所以C＝π－π3＋π6＝π2.]正弦定理证明【例1】在钝角△ABC中，证明正弦定理．[证明]如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，D是BA延长线上一点，根据正弦函数的定义知：CDb＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sinA，CDa＝sinB.∴CD＝bsinA＝asinB.∴asinA＝bsinB.同理，bsinB＝csinC.故asinA＝bsinB＝csinC.1．本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．2．要证asinA＝bsinB，只需证asinB＝bsinA，而asinB，bsinA都对应CD.初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．1．如图所示，锐角△ABC的外接圆O半径为R，证明asinA＝2R.[证明]连接BO并延长，交外接圆于点A′，连接A′C，则圆周角∠A′＝∠A.∵A′B为直径，长度为2R，∴∠A′CB＝90°，∴sinA′＝BCA′B＝a2R，∴sinA＝a2R，即asinA＝2R.已知两角及一边解三角形【例2】在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．[解]因为A＝45°，C＝30°，所以B＝180°－(A＋C)＝105°.由asinA＝csinC得a＝csinAsinC＝10×sin45°sin30°＝102.因为sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝2＋64，所以b＝csinBsinC＝10×sin（A＋C）sin30°＝20×2＋64＝52＋56.已知三角形的两角和任一边解三角形的思路(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角．(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．2．在△ABC中，a＝5，B＝45°，C＝105°，求边c.[解]由三角形内角和定理知A＋B＋C＝180°，所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理asinA＝csinC，得c＝a·sinCsinA＝5·sin105°sin30°＝5·sin（60°＋45°）sin30°＝5·sin60°cos45°＋cos60°sin45°sin30°＝52(6＋2).已知两边及一边的对角解三角形【例3】(1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝6，c＝3，则A＝________．(2)在△ABC中，已知c＝6，A＝45°，a＝2，解这个三角形．(1)75°[由题意得：bsinB＝csinC，所以sinB＝bsinCc＝6×323＝22，因为b＜c，所以B＝45°，所以A＝180°－B－C＝75°.](2)[解]因为asinA＝csinC，所以sinC＝csinAa＝6×sin45°2＝32.因为0°＜C＜180°，所以C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，B＝75°，b＝csinBsinC＝6sin75°sin60°＝3＋1；当C＝120°时，B＝15°，b＝csinBsinC＝6sin15°sin120°＝3－1.所以b＝3＋1，B＝75°，C＝60°或b＝3－1，B＝15°，C＝120°.已知两边及其中一边的对角解三角形的思路(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角；(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．3．在△ABC中，A＝π3，BC＝3，AB＝6，则角C等于()A．π4或3π4B．3π4C．π4D．π6C[由正弦定理，得sinC＝sinA·ABBC＝22.因为BC＞AB，所以A＞C，则0＜C＜π3，故C＝π4.]4．已知△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是()A．x＞2B．x＜2C．2＜x＜22D．2＜x＜23C[由asinB＜b＜a，得22x＜2＜x，所以2＜x＜22.]三角形形状的判断[探究问题]1．由asinA＝2R，bsinB＝2R，csinC＝2R可以得到哪些变形形式？这些变形形式有什么功能？[提示](角化边)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R，(边化角)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，(边角互化)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.2．三角形中常见边角之间的关系有哪些？[提示]在△ABC中，(1)a＋b＞c，|a－b|＜c，(2)a＞b⇔A＞B⇔sinA＞sinB，(3)A＋B＋C＝π⇒sin(A＋B)＝sinC，sinA＋B2＝cosC2.【例4】在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．思路探究：解决本题的关键是利用sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R把sin2A＝sin2B＋sin2C转化为三角形三边的关系，从而判定出角A，然后再利用sinA＝2sinBcosC求解．[解]法一：(利用角的互余关系)根据正弦定理，得asinA＝bsinB＝csinC，∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角，B＋C＝90°，∴2sinBcosC＝2sinBcos(90°－B)＝2sin2B＝sinA＝1，∴sinB＝22.∵0°B90°，∴B＝45°，C＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形．法二：(利用角的互补关系)根据正弦定理，得asinA＝bsinB＝csinC，∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角．∵A＝180°－(B＋C)，sinA＝2sinBcosC，∴sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，∴sin(B－C)＝0.又－90°B－C90°，∴B－C＝0，∴B＝C，∴△ABC是等腰直角三角形．(变条件)将本例题条件“sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C”改为“b＝acosC”其它条件不变，试判断△ABC的形状．[解]∵b＝acosC，由正弦定理，得sinB＝sinAcosC．(*)∵B＝π－(A＋C)，∴sinB＝sin(A＋C)，从而(*)式变为sin(A＋C)＝sinAcosC.∴cosAsinC＝0.又∵A，C∈(0，π)，∴cosA＝0，A＝π2，即△ABC是直角三角形．1．判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行，既可以转化为边与边的关系，也可以转化为角与角的关系．2．注意在边角互化过程中，正弦定理的变形使用，如ab＝sinAsinB等．1．本节课要牢记正弦定理及其常见变形(1)asinA＝bsinB＝csinC＝2R(其中R为△ABC外接圆的半径)；(2)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(3)asinA＝bsinB＝csinC＝a＋b＋csinA＋sinB＋sinC；(4)在△ABC中，sinA＞sinB⇔A＞B⇔a＞b.2．要掌握正弦定理的三个应用(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．(3)判断三角形的形状．3．本节课的易错点有两处(1)已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能出现无解或两解的情况．(2)在判断三角形的形状时易混淆“等腰或直角三角形”与“等腰直角三角形”．1．判断正误(1)正弦定理只适用于锐角三角形．()(2)正弦定理不适用于直角三角形．()(3)在某一确定的三角形中，各边与它所对的角的正弦的比值是一定值．()[答案](1)×(2)×(3)√[提示]正弦定理适用于任意三角形，故(1)(2)均不正确．2．在△ABC中，若c＝2acosB，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．不等边三角形B[由正弦定理知c＝2RsinC，a＝2RsinA，故sinC＝2sinAcosB＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，所以sinAcosB＝cosAsinB，即sin(A－B)＝0，所以A＝B.故△ABC为等腰三角形．]3．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，b＝3，B＝60°，那么A等于()A．135°B．90°C．45°D．30°C[由asinA＝bsinB得sinA＝asinBb＝2×323＝22，∴A＝45°或135°.又∵ab，∴AB，∴A＝45°.]4．已知在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°，解这个三角形．[解]由正弦定理及已知条件有3sinA＝2sin45°，得sinA＝32.∵ab，∴AB＝45°.∴A＝60°或120°.当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝bsinCsinB＝2sin75°sin45°＝6＋22；当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝bsinCsinB＝2sin15°sin45°＝6－22.综上，可知A＝60°，C＝75°，c＝6＋22或A＝120°，C＝15°，c＝6－22.