2019-2020学年高中数学 第1章 解三角形 1.1.1 正弦定理练习 新人教B版必修5

1．1.1正弦定理课时跟踪检测[A组基础过关]1．(2019·河北馆陶月考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝3，A＝60°，b＝6，则B＝()A．45°B．30°C．60°D．135°解析：由正弦定理asinA＝bsinB，得sinB＝bsinAa＝6×323＝22，∵ba，∴B＝45°，故选A.答案：A2．(2018·宁夏银川月考)在△ABC中，若acosB＝bcosA，则△ABC的形状一定是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形解析：由正弦定理可得2RsinAcosB＝2RsinBcosA，∴sinAcosB－sinBcosA＝0，∴sin(A－B)＝0，又－πA－Bπ，∴A＝B，∴△ABC是等腰三角形．答案：D3．以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是()A．在△ABC中，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinCB．在△ABC中，若sin2A＝sin2B，则a＝bC．在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B；若A＞B，则sinA＞sinB都成立D．在△ABC中，asinA＝b＋csinB＋sinC解析：由正弦定理知A，C，D正确，而sin2A＝sin2B，可得A＝B或2A＋2B＝π，∴a＝b或a2＋b2＝c2，故B错误．答案：B4．已知△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是()A．x2B．x2C．2x22D．2x23解析：由题设条件可知x2，xsin45°2，∴2x22.答案：C5．在锐角△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asinB＝3b，则角A等于()A.π12B.π6C.π4D.π3解析：由正弦定理可知，2sinA·sinB＝3sinB，因为B为三角形的内角，所以sinB≠0，故sinA＝32，又因为△ABC为锐角三角形，所以A∈0，π2，故A＝π3，故选D.答案：D6．在△ABC中，若tanA＝13，C＝150°，BC＝1，则AB＝________.解析：∵tanA＝13，0°A180°，∴sinA＝1010.由正弦定理得ABsinC＝BCsinA，∴AB＝BC·sinCsinA＝1×121010＝102.答案：1027．△ABC的三内角A，B，C的对边边长分别为a，b，c.若a＝52b，A＝2B，则cosB等于________．解析：由题设和正弦定理得，ab＝52＝sinAsinB＝sin2BsinB＝2cosB，∴cosB＝54.答案：548．已知△ABC中，三内角的正弦之比为4∶5∶6，又知周长为152，求三边长．解：由asinA＝bsinB＝csinC及已知条件sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6，得a∶b∶c＝4∶5∶6，∴设a＝4k，b＝5k，c＝6k，则有4k＋5k＋6k＝152，∴k＝12.故三边长分别为2、52、3.[B组技能提升]1．(2018·安徽池州月考)在△ABC中，cos2A2＝b＋c2c，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．正三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形解析：由cos2A2＝b＋c2c，得1＋cosA2＝b2c＋12，∴cosA＝bc＝sinBsinC，∴sinB＝sinCcosA，∴sin(A＋C)＝sinCcosA，∴sinAcosC＋sinCcosA＝sinCcosA，∴sinAcosC＝0，在△ABC中sinA≠0，∴cosC＝0，∴C＝π2，∴△ABC是直角三角形．答案：A2．(2019·河南鲁山月考)已知△ABC是锐角三角形，若A＝2B，则ab的取值范围是()A．(2，3)B．(2，2)C．(1，3)D．(1,2)解析：在△ABC中，由正弦定理得ab＝sinAsinB＝sin2BsinB＝2cosB，∵△ABC是锐角三角形，∴02Bπ2，0Bπ2，0π－3Bπ2，∴π6Bπ4，∴22cosB3，∴ab的取值范围为(2，3)．答案：A3．在△ABC中，B＝45°，AC＝10，cosC＝255，则BC＝________.解析：∵cosC＝255，且0°C180°，∴sinC＝1－cos2C＝1－45＝55，∴sinA＝sin(B＋C)＝sin(45°＋C)＝22cosC＋22sinC＝31010，∴由正弦定理得，BC＝ACsinAsinB＝10×3101022＝32.答案：324．在△ABC中，若a＝3，b＝3，∠A＝π3，则∠C的大小为________．解析：由正弦定理得asinA＝bsinB，∴sinB＝bsinAa＝3×323＝12.又ab，∴AB，∴B为锐角，∴B＝π6，∴∠C＝π－A－B＝π2.答案：π25．已知在△ABC中，A＝π3，BC＝3，求△ABC的两边AC＋AB的取值范围．解：由正弦定理得AC＝BC·sinBsinA＝23sinB，AB＝BC·sinCsinA＝23sinC，∴AC＋AB＝23(sinB＋sinC)＝23sinB＋sin2π3－B＝23sinB＋32cosB＋12sinB＝6sinB＋π6.∵0＜B＜2π3，∴π6＜B＋π6＜5π6，∴12＜sinB＋π6≤1，∴3＜6sinB＋π6≤6.∴3AC＋AB≤6.∴△ABC的两边AC＋AB的取值范围为(3,6]．6．在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，且sinAa＝cosBb＝cosCc，试判断△ABC的形状．解：解法一：由asinA＝bsinB＝csinC，得sinBb＝cosBb，sinCc＝cosCc，∴sinB＝cosB，即2sin(B－45°)＝0，∴B＝45°，同理，C＝45°.∴A＝180°－B－C＝90°.所以△ABC为等腰直角三角形．解法二：由sinAa＝cosBb＝cosCc，得asinA＝bcosB＝ccosC，(*)把a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，代入(*)，得2R＝2RtanB＝2RtanC，∴tanB＝tanC＝1.又0°B180°，0°C180°，∴B＝C＝45°，A＝90°，所以△ABC为等腰直角三角形．