2019-2020学年高中数学 第1章 解三角形 1.1.2 余弦定理练习 新人教A版必修5

1.1.2余弦定理课时分层训练‖层级一‖|学业水平达标|1．在△ABC中，已知a2＋b2＝c2＋2ab，则C等于()A．30°B．45°C．135°D．150°解析：选B由余弦定理知，c2＝a2＋b2－2abcosC，∴a2＋b2＝a2＋b2－2abcosC＋2ab，即cosC＝22，∴C＝45°.故选B.2．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，则△ABC是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定解析：选C由正弦定理，得a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7.设a＝3k，b＝5k，c＝7k(k0)，由于cba，故C是△ABC中最大的角，因为cosC＝b2＋a2－c22ab＝5k2＋3k2－7k22×5k×3k＝－120.所以C90°，即△ABC为钝角三角形．3．在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则c等于()A.3B．2C．3D．4解析：选A由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－2×1×2×cos60°＝1＋4－2×1×2×12＝3，∴c＝3.故选A.4．在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则A＋C＝()A．90°B．120°C．135°D．150°解析：选B由余弦定理的推论，得cosB＝a2＋c2－b22ac＝25＋64－492×5×8＝12，∵0°B180°，∴B＝60°.∴A＋C＝180°－60°＝120°.5．在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c，则△ABC是()A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形解析：选B∵cos2B2＝a＋c2c，∴cosB＋12＝a＋c2c，∴cosB＝ac，∴a2＋c2－b22ac＝ac，∴a2＋c2－b2＝2a2即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．故选B.6．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－14，则b＝.解析：由余弦定理，得b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×－14，解得b＝4.答案：47．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝.解析：∵b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－2accos120°＝a2＋c2＋ac，∴a2＋c2＋ac－b2＝0.答案：08．在△ABC中，若a＝2，b＝3，C＝60°，则sinA＝.解析：由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋9－2×2×3×12＝7，∴c＝7.由正弦定理，得sinA＝asinCc＝2sin60°7＝217.答案：2179．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，试确定△ABC的形状．解：解法一：利用边的关系来判断．由正弦定理，得sinCsinB＝cb.又因为2cosAsinB＝sinC，所以cosA＝sinC2sinB＝c2b.由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc，所以c2b＝b2＋c2－a22bc，即c2＝b2＋c2－a2，所以a＝b.又因为(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，所以(a＋b)2－c2＝3ab.所以4b2－c2＝3b2，所以b＝c，所以a＝b＝c.因此△ABC为等边三角形．解法二：利用角的关系来判定．因为A＋B＋C＝180°，所以sinC＝sin(A＋B)．又因为2cosAsinB＝sinC，所以2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，所以sin(A－B)＝0.因为A，B均为三角形的内角，所以A＝B.又由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，得(a＋b)2－c2＝3ab，即a2＋b2－c2＝ab，所以cosC＝a2＋b2－c22ab＝ab2ab＝12.因为0°C180°，所以C＝60°.因此△ABC为等边三角形．10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosA＋C2＝33.(1)求cosB的值；(2)若a＝3，b＝22，求c的值．解：(1)在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以cosA＋C2＝cosπ－B2＝sinB2＝33，所以cosB＝1－2sin2B2＝13.(2)因为a＝3，b＝22，cosB＝13，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得c2－2c＋1＝0，解得c＝1.‖层级二‖|应试能力达标|1．在△ABC中，AB＝3，BC＝13，AC＝4，则AC边上的高为()A.322B．332C.32D．33解析：选B由余弦定理，可得cosA＝AC2＋AB2－BC22AC·AB＝42＋32－1322×3×4＝12，所以sinA＝32.则AC边上的高h＝ABsinA＝3×32＝332，故选B.2．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cosC＝1314，则最大角的余弦值是()A．－15B．－16C．－17D．－18解析：选C由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝82＋72－2×8×7×1314＝9，所以c＝3，故a最大，所以最大角的余弦值为cosA＝b2＋c2－a22bc＝72＋32－822×7×3＝－17.故选C.3．在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为()A．45°B．60°C．75°D．90°解析：选C由题意可知cba，或abc，不妨设c＝2x，则a＝(3＋1)x，∴cosB＝a2＋c2－b22ac，即12＝3＋12x2＋4x2－b22·3＋1x·2x，∴b2＝6x2，∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝3＋12x2＋6x2－4x223＋1x·6x＝22，∴C＝45°，∴A＝180°－60°－45°＝75°.故选C.4．在锐角△ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是()A．1a3B．1a5C.3a5D．不确定解析：选C若a为最大边，则b2＋c2－a20，即a25，∴a5；若c为最大边，则a2＋b2c2，即a23，∴a3，故3a5.故选C.5．在△ABC中，若b＝1，c＝3，C＝2π3，则a＝.解析：∵c2＝a2＋b2－2abcosC，∴(3)2＝a2＋12－2a×1×cos2π3，∴a2＋a－2＝0，∴a＝1或a＝－2(舍去)，∴a＝1.答案：16．在△ABC中，三个角A，B，C的对边边长分别为a＝3，b＝4，c＝6，则bccosA＋cacosB＋abcosC的值为．解析：由余弦定理，得bccosA＋cacosB＋abcosC＝bc·b2＋c2－a22bc＋ac·a2＋c2－b22ac＋ab·a2＋b2－c22ab＝a2＋b2＋c22＝612.答案：6127．在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，则AC边上的中线长为．解析：在△ABC中，由已知条件，得cosA＝AB2＋AC2－BC22AB·AC＝92＋82－722×9×8＝23.设AC边上的中线BD长为x，由余弦定理，得x2＝AD2＋AB2－2×AD×ABcosA＝42＋92－2×4×9×23＝49，解得x＝7，所以所求中线长为7.答案：78．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，C＝π3.(1)若2sinB＋2sin(A－C)＝3，求角A的大小；(2)若△ABC的面积为23，c＝23，求△ABC的周长．解：(1)∵2sinB＋2sin(A－C)＝3.∴2sin(A＋C)＋2sin(A－C)＝3，即4sinAcosC＝3.∵C＝π3，∴sinA＝32，∴A＝π3或A＝2π3(舍去)．(2)由题意，得S△ABC＝12absinC＝23，∴ab＝8.由余弦定理，得12＝a2＋b2－2ab×12，∴a2＋b2＝20.由a2＋b2＝20，ab＝8，得(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝36，则a＋b＝6.所以△ABC的周长为6＋23.