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第一课时距离问题课时分层训练‖层级一‖|学业水平达标|1．如图，为了测量隧道两口之间AB的长度，对给出的四组数据，要求计算时最简便，测量时最容易，应当采用的一组是()A．a，b，γB．a，b，αC．a，b，βD．α，β，a解析：选A根据实际情况α，β都是不易测量的数据，在△ABC中，a，b可以测得，角γ也可测得，根据余弦定理能直接求出AB的长．故选A.2．某人向正东方向走xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好是3km，那么x的值为()A.3B．23C.3或23D．3解析：选C如图所示，设此人从A出发，则AB＝x，BC＝3，AC＝3，∠ABC＝30°，由余弦定理，得(3)2＝x2＋32－2x·3·cos30°，整理得x2－33x＋6＝0，解得x＝3或x＝23.3.学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图所示，测得AC的长度为4米，A＝30°，则其跨度AB的长为()A．12米B．8米C．33米D．43米解析：选D△ABC为等腰三角形，A＝30°，∴B＝30°，C＝120°，∴由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝42＋42－2×4×4×－12＝48，∴AB＝43米．4．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离是()A．akmB．2akmC.3akmD．2akm解析：选C如图所示，在△ABC中，∠ACB＝180°－20°－40°＝120°，∵AC＝BC＝a，∴由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos120°＝a2＋a2－2a2×－12＝3a2，∴AB＝3a(km)，即灯塔A与灯塔B的距离为3akm.5．一船向正北航行，看见正西方向有相距10nmile的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时()A．5nmileB．53nmileC．10nmileD．103nmile解析：选C如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，∴∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在Rt△ABC中，求得AB＝5，∴这艘船的速度是50.5＝10(nmile/h)．故选C.6．要测量对岸两点A，B之间的距离，选取相距3km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则A，B之间的距离为km.解析：如图所示，在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝3(km)．在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°，∴由正弦定理，得BC＝3sin75°sin60°＝6＋22(km)．在△ABC中，由余弦定理得AB2＝(3)2＋6＋222－23×6＋22×cos75°＝3＋2＋3－3＝5，∴AB＝5(km)，∴A，B之间的距离为5km.答案：57．上海世博园中的世博轴是一条1000m长的直线型通道，中国馆位于世博轴的一侧．现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为120°.据此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是m.解析：如图所示，设A，B为世博轴的两端点，C为中国馆，由题意知∠ACB＝120°，且AC＝BC，过C作AB的垂线交AB于D，在Rt△CBD中，DB＝500m，∠DCB＝60°，∴BC＝100033m.答案：1000338．如图所示，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为海里/时．解析：由题可知PM＝68，∠MPN＝120°，∠N＝45°，由正弦定理MPsin45°＝MNsin120°，得MN＝68×32×2＝346，∴速度v＝3464＝1726(海里/时)．答案：17629.如图，我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知CD＝6000m．∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于地面B处时测得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°.求炮兵阵地到目标的距离．(结果保留根号)解：在△ACD中，∠CAD＝60°，由正弦定理知AD＝CD·sin45°sin60°＝63CD.在△BCD中，∠CBD＝135°，由正弦定理得，BD＝CD·sin30°sin135°＝22CD，在△ABD中，∠ADB＝90°.则AB＝AD2＋BD2＝426CD＝100042(m)．10.如图所示，某观测站C在城A的南偏西20°的方向，从城A出发有一条走向为南偏东40°的公路，在C处观测到距离C处31km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去，行驶了20km后到达D处，测得C，D两处的距离为21km，这时此车距离A城多少千米？解：在△BCD中，BC＝31km，BD＝20km，CD＝21km，由余弦定理得cos∠BDC＝BD2＋CD2－BC22BD·CD＝202＋212－3122×20×21＝－17.∴cos∠ADC＝17，∴sin∠ADC＝1－cos2∠ADC＝437.在△ACD中，由条件知CD＝21km，∠BAC＝20°＋40°＝60°，∴sin∠ACD＝sin(60°＋∠ADC)＝32×17＋12×437＝5314.由正弦定理得ADsin∠ACD＝CDsin∠BAC，∴AD＝2132×5314＝15(km)．故这时此车距离A城15km.‖层级二‖|应试能力达标|1．某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300m和500m，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C正西方向，则两灯塔A、B间的距离为()A．500mB．600mC．700mD．800m解析：选C根据题意画出图形如图．在△ABC中，BC＝500，AC＝300，∠ACB＝120°，由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝3002＋5002－2×300×500×－12＝490000，∴AB＝700(m)．故选C.2．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1km，且∠ACB＝120°，则A，B两点间的距离为()A.3kmB．2kmC．1.5kmD．2km解析：选A根据余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC，∴AB＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝1＋1＋2×1×1×12＝3(km)．故选A.3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．102海里B．103海里C．202海里D．203海里解析：选A如图，由已知可得，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝20，从而∠ACB＝45°.在△ABC中，由正弦定理，得BC＝ABsin45°×sin30°＝102.故选A.4.要测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A，B两点，观察对岸的点C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，且AB＝120m，由此可得河宽为(精确到1m)()A．170mB．98mC．95mD．86m解析：选C在△ABC中，AB＝120，∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，则∠ACB＝60°，由正弦定理，得BC＝120sin45°sin60°＝406.设△ABC中，AB边上的高为h，则h即为河宽，∴h＝BC·sin∠CBA＝406×sin75°≈95(m)．故选C.5.如图所示，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140°的方向航行，为了确定船位，在B处观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后到达C处，观测灯塔A的方位角为65°，则货轮到达C处时与灯塔A的距离是km(精确到1km)．解析：依题意，知∠ABC＝30°，C＝105°，BC＝40×12＝20，∴A＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理ACsin∠ABC＝BCsinA，得ACsin30°＝20sin45°，解得AC＝102≈14(km)．故货轮到达C处时与灯塔A的距离约为14km.答案：146．一艘海轮以20nmile/h的速度向正东方向航行，它在A点测得灯塔P在船的北偏东60°方向上，2h后船到达B点时，测得灯塔P在船的北偏东45°方向上，则B点到灯塔P的距离为nmile.解析：由题可知，在△ABP中，AB＝40，∠PAB＝30°，∠ABP＝135°，∴∠BPA＝15°，由正弦定理得ABsin15°＝BPsin30°，∴BP＝AB·sin30°sin15°＝40×126－24＝20(6＋2)(nmile)．答案：20(6＋2)7．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，3≈1.73)解析：根据已知的图形可得AB＝46sin67°.在△ABC中，∠BCA＝30°，∠BAC＝37°，由正弦定理，得ABsin30°＝BCsin37°.所以BC≈2×460.92×0.60＝60(m)．答案：608.如图所示，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D间的距离．(计算结果精确到0.01km.参考数据：2≈1.414，6≈2.449)解：在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1.又因为∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA.在△ABC中，ABsin∠BCA＝ACsin∠ABC，其中∠ABC＝75°－60°＝15°，即AB＝ACsin60°sin15°＝32＋620.因此BD＝32＋620≈0.33(km)．故B，D间的距离约为0.33km.