2019-2020学年高中数学 第1章 解三角形 1.2 应用举例 第二课时 三角形中的计算练习 新

第二课时三角形中的计算课时跟踪检测[A组基础过关]1．在△ABC中，B＝60°，a＝4，面积S＝203，则c的长为()A．15B．16C．421D．20解析：由S＝12acsinB，∴203＝12×4×csin60°，∴c＝20.故选D.答案：D2．(2018·江西吉安月考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos2A＝sinA，bc＝2，则△ABC的面积为()A.12B．14C．1D．2解析：由cos2A＝sinA，得2sin2A＋sinA－1＝0，∴sinA＝12或sinA＝－1(舍去)．由cos2A＝sinA，知cos2A0，∴A为锐角，∴A＝π6，∴S＝12bcsinA＝12×2×12＝12，故选A.答案：A3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B＝()A．－12B．12C．－1D．1解析：因为在△ABC中，acosA＝bsinB，由正弦定理可得sinAcosA＝sin2B，即sinAcosA＝1－cos2B，所以sinAcosA＋cos2B＝1，故选D.答案：D4．(2018·宁夏银川月考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝π3，则△ABC的面积是()A．3B．932C.332D．33解析：由c2＝(a－b)2＋6，得a2＋b2－2abcosπ3＝a2－2ab＋b2＋6，∴ab＝6，∴S＝12absinC＝12×6×32＝332，故选C.答案：C5．已知在△ABC中，AB＝2，AC＝3，AB→·BC→＝1，则BC＝()A.3B．7C．22D.23解析：由AB→·BC→＝1，得|AB→|·|BC→|·cos(π－B)＝1，∴2·BCcosB＝－1.又∵AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，∴9＝4＋BC2＋2，∴BC2＝3，∴BC＝3.故选A.答案：A6．(2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．解析：根据题意，结合正弦定理可得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC，即sinA＝12，结合余弦定理可得2bccosA＝8，所以A为锐角，且cosA＝32，从而求得bc＝833，所以△ABC的面积为S＝12bcsinA＝12×833×12＝233.答案：2337．若△ABC的面积为3，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度等于________．解析：∵S△ABC＝12BC·AC·sin60°＝32AC＝3，∴AC＝2，所以△ABC为等边三角形，故AB的长度等于2.答案：28．(2017·北京卷)在△ABC中，A＝60°，c＝37a.(1)求sinC的值；(2)若a＝7，求△ABC的面积．解：(1)根据正弦定理asinA＝csinC，所以sinC＝csinAa＝37×sin60°＝37×32＝3314.(2)当a＝7时，c＝37a＝3，因为sinC＝3314，ca，所以cosC＝1－sin2C＝1314.在△ABC中，sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinA×cosC＋cosA×sinC＝32×1314＋12×3314＝437，所以S△ABC＝12ac×sinB＝12×7×3×437＝63.[B组技能提升]1．在△ABC中，A∶B＝1∶2，C的平分线CD把△ABC的面积分成3∶2两部分，则cosA等于()A.13B．12C.34D.34或13解析：∵A∶B＝1∶2，∴B＝2A，∴BA，ACBC.由角平分线定理，得BCAC＝BDAD＝23，∴sinAsinB＝23，∴sinAsin2A＝sinA2sinAcosA＝12cosA＝23，∴cosA＝34，故选C.答案：C2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2＋c2－a2＝3bc，且b＝3a，则下列关系一定不成立的是()A．a＝cB．b＝cC．2a＝cD．a2＋b2＝c2解析：将b＝3a代入b2＋c2－a2＝3bc，得3a2＋c2－a2＝3ac，即c2－3ac＋2a2＝0，∴c＝a或c＝2a，故A、C有可能成立；当c＝2a时，有c2＝b2＋a2，D有可能成立，B一定不成立．答案：B3．△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即49＝a2＋25－2×5×acos120°.整理得a2＋5a－24＝0，解得a＝3或a＝－8(舍)．∴S△ABC＝12acsinB＝12×3×5sin120°＝1534.答案：15344．在△ABC中，边AB的垂直平分线交边AC于D，若C＝π3，BC＝8，BD＝7，△ABC的面积为________．解析：如图所示，AB的垂直平分线交AC于D，E为AB的中点，∴DA＝BD＝7，BC＝8，C＝π3，∴在△BCD中，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcosπ3，∴72＝82＋CD2－8·CD，∴CD2－8·CD＋15＝0，∴CD＝3或CD＝5.当CD＝3时，AC＝10，S＝12BC·AC·sinC＝203；当CD＝5时，AD＝12，S＝243.答案：203或2435．(2019·河北衡水调研)如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DA＝DC，已知B＝π4，BC＝1.(1)若△ABC是锐角三角形，DC＝63，求角A的大小；(2)若△BCD的面积为16，求边AB的长．解：(1)在△BCD中，B＝π4，BC＝1，DC＝63，由正弦定理得BCsin∠BDC＝CDsin∠B，解得sin∠BDC＝1×2263＝32，则∠BDC＝π3或2π3.由△ABC是锐角三角形，可得∠BDC＝2π3.又由DA＝DC，则A＝π3.(2)由于B＝π4，BC＝1，△BCD面积为16，则12·BC·BD·sinπ4＝16，解得BD＝23.再由余弦定理得到CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cosπ4＝1＋29－2×23×22＝59，故CD＝53，又AB＝AD＋BD＝CD＋BD＝5＋23，故边AB的长为5＋23.6．(2018·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA＝acosB－π6.(1)求角B的大小；(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．解：(1)在△ABC中，由正弦定理asinA＝bsinB，可得bsinA＝asinB，又由bsinA＝acosB－π6，得asinB＝acosB－π6，即sinB＝cosB－π6，可得tanB＝3.又因为B∈(0，π)，可得B＝π3.(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝π3，有b2＝a2＋c2－2accosB＝7，故b＝7.由bsinA＝acosB－π6，可得sinA＝37.因为ac，故cosA＝27.因此sin2A＝2sinAcosA＝437，cos2A＝2cos2A－1＝17.所以sin(2A－B)＝sin2AcosB－cos2AsinB＝437×12－17×32＝3314.