2019-2020学年高中数学 第1章 解三角形 1.2 应用举例 第一课时 解三角形的实际应用举例

第一课时解三角形的实际应用举例课时跟踪检测[A组基础过关]1．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60m，则树的高度为()A．(30＋303)mB．(30＋153)mC．(15＋303)mD．(15＋153)m解析：设树的高度为h，则PB＝2h，∴在△PBA中，60sin∠BPA＝2hsin30°，∴h＝60×122×sin15°＝(30＋303)m.答案：A2．如图所示，在河岸AC测量河的宽度BC.测量下列四组数据中，较适宜的是()A．c与aB．c与bC．c与βD．b与α解析：只可在河岸的一侧测量有用的数据，因此．跨河以及过河测得的数据都不适宜．答案：D3．(2018·河北邯郸月考)某人向正东方向走xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好3km，那么x的值为()A.3B．23C．23或3D．3解析：如图所示，由余弦定理得，3＝9＋x2－6xcos30°.即x2－33x＋6＝0.∴x＝3或x＝23.答案：C4.(2018·江西赣州期中)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．102海里B．103海里C．203海里D．202海里解析：如图所示，在△ABC中，∠BAC＝70°－40°＝30°，∠ABC＝40°＋65°＝105°，∴∠ACB＝180°－105°－30°＝45°，AB＝12×40＝20，∴BC＝ABsin30°sin45°＝20×1222＝102，故选A.答案：A5．(2018·云南沾益质检)如图，要测出山上石油钻井的井架BC的高，从山脚A测得AC＝60m，塔顶B的仰角为45°，塔底C的仰角为15°，则井架的高BC为()A．202mB．302mC．203mD．303m解析：由题可知，∠CAD＝15°，∠BAD＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，又AC＝60，∴AD＝60cos15°，CD＝60sin15°.又BC＋CD＝AD，即BC＋60sin15°＝60cos15°，∴BC＝60cos15°－60sin15°＝302，故选B.答案：B6．如图，一勘探队员朝一座山行进，在前后A，B两处观察山顶C的仰角分别是30°和45°，两个观察点A，B之间的距离是200米，则此山CD的高度约为________米．取sin15°＝6－24，3＝1.732，2＝1.414，结果四舍五入取整数．解析：如题图，在△ABC中，∠CAB＝30°，∠CBD＝45°，∴∠ACB＝45°－30°＝15°，AB＝200，由正弦定理，得ABsin15°＝BCsin30°，∴BC＝200×126－24＝100(6＋2)．在Rt△CDB中，CD＝BC·sin∠CBD＝100(3＋1)≈273.答案：2737．某同学骑电动车以24km/h的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东75°方向上，则点B与电视塔的距离是________km.解析：如题图，可知AB＝24×1560＝6，在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，∴∠ASB＝45°，由正弦定理知BSsin30°＝ABsin45°，∴BS＝AB·sin30°sin45°＝32km.答案：328．如图所示，要测量对岸两点A，B之间的距离，选取相距3km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A，B之间的距离．解：在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝3.在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.∴BC＝3sin75°sin60°＝6＋22.在△ABC中，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝3＋6＋224－3(6＋2)cos75°＝5.∴AB＝5.∴A，B之间的距离为5km.[B组技能提升]1．(2019·河北馆陶月考)某公司要测量一水塔CD的高度，测量人员在该水塔所在的东西方向水平直线上选择A，B两个观测点，在A处测得该水塔顶端D的仰角为α，在B处测得该水塔顶端D的仰角为β，已知A，B在水塔的同一侧，AB＝a,0βαπ2，则水塔CD的高度为()A.asinα－βsinαsinαB．asinαsinβsinα－βC.asinα－βsinβsinαD.asinαsinα－βsinβ解析：在△ABD中，∠ADB＝α－β，由正弦定理得asinα－β＝ADsinβ，∴AD＝asinβsinα－β，在Rt△ACD中，CD＝ADsinα＝asinαsinβsinα－β，故选B.答案：B2．一艘船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°处，且与它相距82海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°，此船的航速是()A．8(6＋2)海里/小时B．8(6－2)海里/小时C．16(6＋2)海里/小时D．16(6－2)海里/小时解析：如图所示，在△ABS中，∠ABS＝105°，∠BSA＝75°－30°＝45°，∴ASsin105°＝ABsin45°，∴AB＝AS·sin45°sin105°＝82×226＋24＝8(6－2)，∴船的速度为8(6－2)÷12＝16(6－2)，故选D.答案：D3．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，则电视塔的高度为________m.解析：如图，设电视塔AB高为xm，则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°，得BC＝x.在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，所以BD＝3x.在△BDC中，由余弦定理得，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°，即(3x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，解得x＝40，所以电视塔高为40m.答案：404．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷水的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是________．解析：如图所示，设水柱OH的高度为hm，则在△AOH中，∠HAO＝45°，∴OA＝OH＝h，在△BOH中，∠HBO＝30°，∴OB＝3h，∴△OBA中，∠BAO＝60°，∴OB2＝OA2＋AB2－2OA·AB·cos60°，即3h2＝h2＋1002－100h，即2h2＋100h－1002＝0，解得h＝－100(舍)或h＝50.答案：50m5．如图，货轮在海上以50海里/时的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为155°的方向航行，为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为125°，半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为80°，求此时货轮与灯塔之间的距离(得数保留最简根号)．解：在△ABC中，∠ABC＝155°－125°＝30°，∠BCA＝180°－155°＋80°＝105°，∠BAC＝180°－30°－105°＝45°，BC＝12×50＝25(海里)，由正弦定理，得ACsin30°＝BCsin45°，∴AC＝BC·sin30°sin45°＝2522(海里)．∴船与灯塔间的距离为2522海里．6．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A为(3－1)km的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A为2km的C处的缉私船奉命以103km/h的速度追截走私船．此时走私船正以10km/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间．解：如图所示，设缉私船追上走私船需th，则CD＝103t，BD＝10t.在△ABC中，由余弦定理知：BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(3－1)2＋22－2×(3－1)×2×cos120°＝6，故BC＝6.由正弦定理得ACsin∠CBA＝BCsin∠BAC，∴sin∠CBA＝2×326＝22，∴∠CBA＝45°.在△CBD中，∠CBD＝120°，应用正弦定理有sin∠BCD＝BD·sin∠CBDCD＝10t·sin120°103t＝12，∴∠BCD＝30°，∴∠BDC＝30°，∴BD＝BC＝6，即10t＝6，∴t＝610.故缉私船沿北偏东60°方向，只需610h便能追上走私船．