2019-2020学年高中数学 第1章 解三角形 1.3 正弦定理、余弦定理的应用讲义 苏教版必修5

1.3正弦定理、余弦定理的应用学习目标核心素养1.能将实际问题转化为解三角形问题．(难点)2.能够用正、余弦定理求解与距离、高度有关的实际应用问题．(重点)通过利用正、余弦定理求解实际问题中的长度、高度，培养学生的直观想象及数学建模素养.正、余弦定理在物理学中的应用【例1】如图，墙上有一个三角形灯架OAB，灯所受的重力为10N，且OA，OB都是细杆，只受沿杆方向的力．试求杆OA，OB所受的力．思路探究：先借助向量的合成与分解画出图示，然后借助正弦定理求解．[解]如图，作OE→＝F，将F沿A到O，O到B两个方向进行分解，即作▱OCED，则OD→＝CE→＝F1，OC→＝F2.由题设条件可知，|OE→|＝10，∠OCE＝50°，∠OEC＝70°，所以∠COE＝180°－50°－70°＝60°.在△OCE中，由正弦定理，得|F|sin50°＝|F1|sin60°，|F|sin50°＝|F2|sin70°，因此，|F1|＝10sin60°sin50°≈11.3N，|F2|＝10sin70°sin50°≈12.3N.即灯杆OA所受的力为11.3N，灯杆OB所受的力为12.3N.在运用正弦定理、余弦定理解决力的合成与分解问题时，通常涉及平行四边形，根据题意，选择一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.1．作用于同一点的三个力F1，F2，F3平衡．已知F1＝30N，F2＝50N，F1与F2之间的夹角是60°，求F3的大小与方向(精确到0.1°)．[解]F3应和F1，F2的合力F平衡，所以F3和F在同一直线上，并且大小相等，方向相反．如图，在△OF1F中，由余弦定理，得F＝302＋502－2×30×50cos120°＝70(N)，再由正弦定理，得sin∠F1OF＝50sin120°70＝5314，所以∠F1OF≈38.2°，从而∠F1OF3≈141.8°.即F3为70N，F3和F1间的夹角为141.8°.正、余弦定理在几何中的应用【例2】如图，在△ABC中，B＝π4，AC＝25，cosC＝255.(1)求sin∠BAC的值；(2)设BC的中点为D，求中线AD的长．思路探究：(1)(2)[解](1)因为cosC＝255，且C是三角形的内角，所以sinC＝1－cos2C＝1－2552＝55.所以sin∠BAC＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝22×255＋22×55＝31010.(2)在△ABC中，由正弦定理得，BCsin∠BAC＝ACsinB，则BC＝ACsinB×sin∠BAC＝2522×31010＝6，所以CD＝12BC＝3.又在△ADC中，AC＝25，cosC＝255，所以由余弦定理得，AD＝AC2＋CD2－2AC·CD·cosC＝20＋9－2×25×3×255＝5.(三角形中几何计算问题的解题思路1正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决.2此类问题突破的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件.2.如图所示，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2.(1)求cos∠CBE的值；(2)求AE.[解](1)因为∠BCD＝90°＋60°＝150°，CB＝AC＝CD，所以∠CBE＝15°.所以cos∠CBE＝cos(45°－30°)＝6＋24.(2)在△ABE中，AB＝2，由已知和(1)知∠ABE＝∠ABC－∠CBE＝45°－15°＝30°，∠AEB＝∠ACB＋∠EBC＝90°＋15°＝105°，由正弦定理，得AEsin30°＝2sin105°，∴AE＝2sin30°sin105°＝2×126＋24＝6－2.正、余弦定理在测量学中的应用[探究问题]1．如图，A，B两点在河的对岸，且不可到达，如何测量其两点间的距离？[提示]在河岸这边选取点C，D，测得CD＝a，∠ACD＝α，∠BCD＝β，∠BDC＝γ，∠ADC＝δ，则在△ACB和△ACD中应用正弦定理可求AC，BC的长，进而在△ACB中应用余弦定理求AB.2．如图，如何测量山顶塔AB的高？(测量者的身高忽略不记)[提示]测量者在山下先选择一基点P，测出此时山顶的仰角α，前进a米后，再测出此时山顶的仰角β，则借助直角三角形的边角关系可求塔顶距地面的高h，进而利用AB＝h－H求解．【例3】如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里每小时，该救援船到达D点至少需要几个小时？思路探究：在△ABD中，利用正弦定理求出BD的长，再在△DBC中利用余弦定理求出DC的长，进而求时间．[解]由题意知AB＝5(3＋3)，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝45°，所以∠ADB＝105°，所以sin105°＝sin45°cos60°＋sin60°cos45°＝22×12＋32×22＝2＋64，在△ABD中，由正弦定理得BDsin∠DAB＝ABsin∠ADB，所以BD＝AB·sin∠DABsin∠ADB＝53＋3·sin45°sin105°＝53＋3·222＋64＝1031＋31＋3＝103，又∠DBC＝180°－60°－60°＝60°，BC＝203，在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2×BD×BCcos60°＝300＋1200－2×103×203×12＝900，所以CD＝30(海里)，则至少需要的时间t＝3030＝1(小时)．本例中，A与B的距离改为“5(2＋6)海里”，点C的位置改为“位于A点南偏西15°且与A点相距103海里，如图所示”，其他条件不变，应如何解答？[解]在△ABD中，由正弦定理得ADsin∠ABD＝ABsin∠ADB，所以AD＝AB·sin∠ABDsin∠ADB＝52＋6·sin30°sin105°＝52＋6·122＋64＝10.在△ACD中，∠CAD＝90°＋45°＋15°＝150°，AD＝10，AC＝103，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2×AD×ACcos150°＝100＋300－2×10×103×－32＝700，所以CD＝107(海里)，则需要的时间t＝10730＝73(小时)．1．解决测量高度问题的一般步骤(1)画图：根据已知条件画出示意图；(2)分析三角形：分析与问题有关的三角形；(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解．在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用．2．测量距离问题分为三种类型：两点间不可通又不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达．解决此问题的方法是，选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．提醒：解题时要注意题目条件和实际意义中的隐含信息，避免出现增解或漏解．1．本节课要掌握四类问题的解法(1)测量距离问题．(2)测量高度问题．(3)角度问题．(4)与立体几何有关的测量问题．2．解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理和余弦定理解之．(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．1．判断正误(1)已知三角形的三个角，能够求其三条边．()(2)两个不可到达的点之间的距离无法求得．()(3)东偏北45°的方向就是东北方向．()(4)仰角与俯角所在的平面是铅垂面．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√[提示]已知三角形中至少知道一条边才能解三角形，故(1)错．两个不可到达的点之间的距离可以用解三角形的方法求出，故(2)错．2．身高相同的甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20m高的旗杆，甲观测的仰角为50°，乙观测的仰角为40°，用d1，d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有()A．d1d2B．d1d2C．d120mD．d220mB[如图，设旗杆高为h，则d1＝htan50°，d2＝htan40°.因为tan50°tan40°，所以d1d2.]3．一艘船以4km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2km/h，则经过3h，该船实际航程为________．6km[v实＝22＋42－2×4×2×cos60°＝23(km/h)．所以实际航程为23×3＝6(km)．]4．某市在“旧城改造”工程中，计划在如图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境．已知这种草皮价格为a元/m2，则购买这种草皮需要________元．150a[∵S△＝12×20×30×sin150°＝12×20×30×12＝150(m2)，∴购买这种草皮需要150a元．]5．如图，A，B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距40m的C，D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，那么此时A，B两点间的距离是多少？[解]在△ACD中，应用正弦定理得AC＝40sin45°＋60°sin[180°－30°＋45°＋60°]＝40sin105°sin45°＝40sin75°sin45°＝20(1＋3)(m)，在△BCD中，应用正弦定理得BC＝40sin45°sin[180°－60°＋30°＋45°]＝40sin45°sin45°＝40(m)．在△ABC中，由余弦定理得AB＝AC2＋BC2－2AC×BCcos60°＝206(m)．