2019-2020学年高中数学 第1章 解三角形阶段性测试题一 新人教B版必修5

第一章解三角形(时间：120分钟满分：150分)第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，a＝2，b＝3，则sinAsinB＝()A.32B.23C.25D．不确定解析：由正弦定理asinA＝bsinB，得sinAsinB＝ab＝23，故选B.答案：B2．(2018·安徽六校月考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝1，B＝π4，cosA＝13，则a＝()A.43B．23C.34D.2解析：由cosA＝13，得sinA＝223，由正弦定理得a223＝122，∴a＝43.故选A.答案：A3．(2019·云南姚安月考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2A＋sin2C－sin2B＝3sinAsinC，则角B为()A.π6B．π3C.2π3D.5π6解析：由题可得a2＋c2－b2＝3ac，∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝3ac2ac＝32，∵B∈(0，π)，∴B＝π6，故选A.答案：A4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc.若sinB·sinC＝sin2A，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析：由b2＋c2＝a2＋bc，得b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，∵A∈(0，π)，∴A＝π3.若sinB·sinC＝sin2A，∴bc＝a2，∴b2＋c2－2bc＝0，∴(b－c)2＝0，即b＝c，∴△ABC是一个等边三角形．故选C.答案：C5．黑板上有一道有正解的解三角形的习题，一位同学不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，…，解得b＝6，根据以上信息，你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知条件()A．A＝30°，B＝45°B．c＝1，cosC＝13C．B＝60°，c＝3D．C＝75°，A＝45°解析：A中，asin30°＝bsin45°，得b＝22；B中，c2＝a2＋b2－2abcosC，得b2－43b＋3＝0，b＝6不符合此方程；C中，b2＝a2＋c2－2accosB＝7，b＝7；D中，B＝180°－75°－45°＝60°，∴b＝asinBsinA＝2×3222＝6.故选D.答案：D6．(2018·河北邯郸月考)根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是()A．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解B．b＝18，c＝20，B＝60°，有一解C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解解析：A中，sinB＝bsinAa＝16×128＝1，∴B＝90°，有一解；B中，sinC＝20×3218＝539，cb，有两解；C中，sinC＝2×sin90°5＝25，有一解；D中，sinB＝25×1230＝512，有一解，故D正确．答案：D7．若△ABC的内角A，B，C满足6sinA＝4sinB＝3sinC，则cosB＝()A.154B．34C.31516D.1116解析：由正弦定理把已知条件转化为6a＝4b＝3c，设6a＝4b＝3c＝12t(t0)，则a＝2t，b＝3t，c＝4t，cosB＝a2＋c2－b22ac＝2t2＋4t2－3t22×2t×4t＝1116，故选D.答案：D8．(2018·河北邯郸月考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，则角B的值为()A.π6B．π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析：由(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，得2accosBtanB＝3ac，∴sinB＝32，∵B∈(0，π)，∴B＝π3或2π3，故选D.答案：D9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asinBcosC＋csinBcosA＝12b，且ab，则B＝()A.π6B．π3C.2π3D.5π6解析：利用正弦定理，将已知化为sinAsinBcosC＋sinCsinBcosA＝12sinB，∵sinB≠0，∴sinAcosC＋sinCcosA＝12，即sin(A＋C)＝12，∴sinB＝12，∵ab，∴B为锐角，∴B＝π6，故选A.答案：A10．(2019·河南鹤壁调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c＝b(cosA＋cosB)，则△ABC为()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：由c＝b(cosA＋cosB)，得sinC＝sinB(cosA＋cosB)，∴sinAcosB＋cosAsinB＝sinBcosA＋sinBcosB，∴sinAcosB＝sinBcosB，∴(sinA－sinB)·cosB＝0，∴sinA－sinB＝0或cosB＝0，∴A＝B或B＝π2，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D.答案：D11．甲船在湖中B岛的正南A处，AB＝3km，甲船以8km/h的速度向正北方向航行，同时乙船从B岛出发，以12km/h的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15分钟时，两船的距离是()A.7kmB．13kmC.19kmD.10－33km解析：如图，由题意知AM＝8×1560＝2，BN＝12×1560＝3，MB＝AB－AM＝3－2＝1，所以由余弦定理得MN2＝MB2＋BN2－2MB·BNcos120°＝1＋9－2×1×3×－12＝13，所以MN＝13km.答案：B12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝1，c＝2，∠C＝60°，若D是边BC上一点且∠B＝∠DAC，则AD＝()A.39＋38B．3C.13－13D.39＋34解析：如图，在△ABC中，由正弦定理得bsinB＝csinC，即sinB＝bsinCc＝1×322＝34，∴cosB＝134.∴sin∠BAC＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝39＋38.∵B＝∠DAC，∴∠ADC＝B＋∠BAD＝∠DAC＋∠BAD＝∠BAC.∴sin∠ADC＝sin∠BAC＝39＋38.∴在△ADC中，由正弦定理得ACsin∠ADC＝ADsinC，即AD＝ACsinCsin∠ADC＝1×3239＋38＝13－13.故选C.答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2a－cb＝cosCcosB，则B的大小为________．解析：由正弦定理得2sinA－sinCsinB＝cosCcosB，∴2sinAcosB＝sinBcosC＋sinCcosB＝sin(B＋C)＝sinA.∵A∈(0，π)，sinA≠0，∴2cosB＝1，cosB＝22，∵B∈(0，π)，∴B＝π4.答案：π414．(2018·河北武邑调研)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知b2＝ac，a2－c2＝ac－bc，则cbsinB＝________.解析：由a2－c2＝ac－bc与b2＝ac，得a2－c2＝b2－bc，∴b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，∵A∈(0，π)，∴A＝π3，由b2＝ac，得bsinB＝csinA，∴cbsinB＝1sinA＝233.答案：23315．(2019·广西陆川月考)已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若c－a＝2acosB，则sin2AsinB－A的取值范围是________．解析：由c－a＝2acosB，得sinC－sinA＝2sinAcosB，∴sin(A＋B)－sinA＝2sinAcosB，∴sinAcosB＋cosAsinB－2sinAcosB－sinA＝0.∴sin(B－A)－sinA＝0，∴sin(B－A)＝sinA，∴在△ABC中，B－A＝A，即B＝2A，∵△ABC为锐角三角形，∴0Aπ2，0Bπ2，0Cπ2，即π6Aπ4，∴sin2AsinB－A＝sinA∈12，22.答案：12，2216．某人在C点测得塔顶A在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10m到B点，测得塔顶A仰角为30°，则塔高为________．解析：设塔底为A′，AA′＝h，则借助于实物模拟图(如下图)可以求得A′C＝h，A′B＝3h，在△A′BC中，A′C＝h，BC＝10，A′B＝3h，∠A′CB＝120°.∴(3h)2＝h2＋100－2h×10×cos120°.即h2－5h－50＝0，解得h＝10.答案：10m三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，A＝45°，AB＝2，BD＝5.(1)求cos∠ADB；(2)若DC＝22，求BC.解：(1)在△ABD中，由正弦定理得BDsinA＝ABsin∠ADB.由题设知，5sin45°＝2sin∠ADB，所以sin∠ADB＝25.由题设知，∠ADB90°，所以cos∠ADB＝1－225＝235.(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝25.在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×22×25＝25.所以BC＝5.18．(12分)(2018·河北邯郸月考)已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos2B－cos2C－sin2A＝－sinAsinB，sin(A－B)＝cos(A＋B)．(1)求角A，B，C；(2)若a＝2，求△ABC的边长b的值及△ABC的面积．解：(1)∵△ABC的三个内角为A，B，C，且cos2B－cos2C－sin2A＝－sinAsinB.可得sin2C＋sinAsinB＝sin2A＋sin2B，∴由正弦定理化简得c2＋ab＝a2＋b2，∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝ab2ab＝12，∵0Cπ，∴C＝π3.∵sin(A－B)＝cos(A＋B)，即sinAcosB－cosAsinB＝cosAcosB－sinAsinB，∴sinA(sinB＋cosB)＝cosA(sinB＋cosB)，∴sinA＝cosA，∴由A为锐角，可得A＝π4，B＝π－A－C＝5π12.(2)∵a＝2，A＝π4，B＝5π12，∴由正弦定理可得b＝a·sinBsinA＝6＋22，∴△ABC的面积S＝12absinC＝12×2×6＋22×32＝3＋34.19．(12分)(2018·江苏启东月考)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA＝cosπ2－B，a＝3，c＝2.(1)求AB→·AC→的值；(2)求tan3π＋C2－B的值．解：(1)在△ABC中，∵sinA＝cosπ2－B＝sinB，由正弦定理asinA＝bsinB，得a＝b，∴a＝b＝3，A＝B.由余弦定理AB→·AC→＝c×b×cosA＝c2＋b2－a22＝22＋32－322＝2.(2)∵A＋B＋C＝2B＋C＝π，∴tan3π＋C2－B＝tanC，∵cosC＝a2＋b2－c22ab＝79，∴sinC＝1－cos2C＝429，∴tanC＝sinCcosC＝427.20．(12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ac.已知BA→·BC→＝2，cosB＝13，b＝3.求：(1)a和c的值；(2)cos(B－C)的值．解：(1)由BA→·BC→＝2，得c·acosB＝2，又cosB＝13，所以ac＝6.由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB.又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.解ac＝6，a2＋c2＝13，得a＝2，c＝3或a＝