2019-2020学年高中数学 第1章 解三角形章末质量检测卷（一） 新人教A版必修5

章末质量检测卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，下列式子与sinAa的值相等的是()A.bcB．sinBsinAC.sinCcD．csinC解析：选C由正弦定理得asinA＝csinC，所以sinAa＝sinCc.故选C.2．已知△ABC中，c＝6，a＝4，B＝120°，则b等于()A．76B．219C．27D．27解析：选B由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝76，所以b＝219.故选B.3．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是()A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定解析：选C由正弦定理得bsinB＝csinC，∴sinB＝bsinCc＝40×3220＝31.∴B不存在，即满足条件的三角形不存在．故选C.4．在△ABC中，a＝15，b＝20，A＝30°，则cosB＝()A．±53B．23C．－53D．53解析：选A因为asinA＝bsinB，所以15sin30°＝20sinB，解得sinB＝23.因为ba，所以BA，故B有两解，所以cosB＝±53.故选A.5．若sinAa＝cosBb＝cosCc，则△ABC是()A．等边三角形B．有一内角是30°的直角三角形C．等腰直角三角形D．有一内角是30°的等腰三角形解析：选C∵sinAa＝cosBb，∴acosB＝bsinA，∴2RsinAcosB＝2RsinBsinA.又2RsinA≠0，∴cosB＝sinB，∴B＝45°.同理C＝45°，故A＝90°.故选C.6．已知圆的半径为4，a，b，c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝162，则三角形的面积为()A．22B．82C.2D．22解析：选C∵asinA＝bsinB＝csinC＝2R＝8，∴sinC＝c8，∴S△ABC＝12absinC＝abc16＝16216＝2.故选C.7．在△ABC中，三边长分别为a－2，a，a＋2，最大角的正弦值为32，则这个三角形的面积为()A.154B．1534C.2134D．3534解析：选B∵三边不等，∴最大角大于60°.设最大角为α，故α所对的边长为a＋2，∵sinα＝32，∴α＝120°.由余弦定理得(a＋2)2＝(a－2)2＋a2＋a(a－2)，即a2＝5a，故a＝5，故三边长为3,5,7，∴S△ABC＝12×3×5×sin120°＝1534.故选B.8．在△ABC中，若acos2C2＋ccos2A2＝32b，那么a，b，c的关系是()A．a＋b＝2cB．a＋c＝2bC．b＋c＝2aD．a＝b＝c解析：选B由题意，得cos2C2＝1＋cosC2，cos2A2＝1＋cosA2，代入已知等式，得a＋c＋acosC＋ccosA＝3b，∴a＋c＋a·a2＋b2－c22ab＋c·b2＋c2－a22bc＝3b，整理得a＋c＝2b.故选B.9．有一长为1km的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为()A．1kmB．2sin10°kmC．2cos10°kmD．cos20°km解析：选C如图所示，∵∠ABC＝20°，AB＝1km，∠ADC＝10°，∴∠ABD＝160°.在△ABD中，由正弦定理ADsin160°＝ABsin10°，∴AD＝AB·sin160°sin10°＝sin20°sin10°＝2cos10°(km)．故选C.10．在△ABC中，已知2acosB＝c，sinAsinB(2－cosC)＝sin2C2＋12，则△ABC为()A．等边三角形B．等腰直角三角形C．锐角非等边三角形D．钝角三角形解析：选B由2acosB＝c⇒2a·a2＋c2－b22ac＝c⇒a2＝b2，所以a＝b.因为sinAsinB(2－cosC)＝sin2C2＋12，所以2sinAsinB(2－cosC)－2＋1－2sin2C2＝0，所以2sinAsinB(2－cosC)－2＋cosC＝0，所以(2－cosC)(2sinAsinB－1)＝0，因为cosC≠2，所以sinAsinB＝12，因为a＝b，所以sin2A＝12，所以A＝B＝π4，所以△ABC是等腰直角三角形，故选B.11．如图，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，与O相距15海里的C处．现甲船以35海里/小时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向25海里的B处的乙船，则甲船到达B处需要的时间为()A.12小时B．1小时C.32小时D．2小时解析：选B在△OBC中，由余弦定理，得CB2＝CO2＋OB2－2CO·OBcos120°＝152＋252＋15×25＝352，因此CB＝35，3535＝1(小时)，因此甲船到达B处需要的时间为1小时．故选B.12．空中有一气球，在它的正西方A点测得它的仰角为45°，同时在它南偏东60°的B点，测得它的仰角为30°，若A，B两点间的距离为266米，这两个观测点均离地1米，那么测量时气球到地面的距离是()A.26677米B．26677＋1米C．266米．266米D．2667米解析：选B如图，D为气球C在过AB且与地面平行的平面上的正投影，设CD＝x米，依题意知，∠CAD＝45°，∠CBD＝30°，则AD＝x米，BD＝3米．在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB，即2662＝x2＋(3x)2－2x·(3x)·cos150°＝7x2，解得x＝26677，故测量时气球到地面的距离是26677＋1米．故选B.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．在△ABC中，已知cosA＝35，cosB＝513，b＝3，则c＝.解析：在△ABC中，∵cosA＝350，∴sinA＝45.∵cosB＝5130，∴sinB＝1213.∴sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝45×513＋35×1213＝5665.由正弦定理知bsinB＝csinC，∴c＝bsinCsinB＝3×56651213＝145.答案：14514．某人从A处出发，沿北偏东60°行走33km到B处，再沿正东方向行走2km到C处，则A，C两地的距离为km.解析：如图所示，由题意可知AB＝33，BC＝2，∠ABC＝150°.由余弦定理，得AC2＝27＋4－2×33×2×cos150°＝49，AC＝7.则A，C两地的距离为7km.答案：715．已知△ABC的面积S＝3，A＝π3，则AB→·AC→＝.解析：S△ABC＝12·|AB|·|AC|·sinA，即3＝12·|AB|·|AC|·32，所以|AB|·|AC|＝4，于是AB→·AC→＝|AB→|·|AC→|·cosA＝4×12＝2.答案：216．在△ABC中，c＝3，b＝1，B＝30°，则△ABC的面积为．解析：根据正弦定理，得sinC＝csinBb＝3sin30°＝32.∵cb，∴CB，∴C＝60°或120°.当C＝60°时，A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋60°)＝90°，∴△ABC的面积S＝12bcsinA＝32；当C＝120°时，A＝180°－(30°＋120°)＝30°，∴△ABC的面积S＝12bcsinA＝12×1×3sin30°＝34.答案：32或34三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)在△ABC中，求证：b2cos2A－a2cos2B＝b2－a2.证明：∵左边＝b2(1－2sin2A)－a2(1－2sin2B)＝b2－a2－2(b2sin2A－a2sin2B)，由正弦定理asinA＝bsinB，得bsinA＝asinB，∴b2sin2A－a2sin2B＝0，∴左边＝b2－a2＝右边，∴b2cos2A－a2cos2B＝b2－a2.18．(12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，并且23sin2A＋B2＝sinC＋3＋1.(1)求角C的大小；(2)若a＝23，c＝2，求b.解：(1)∵23sin2A＋B2－(sinC＋3＋1)＝0，∴23cos2C2－(sinC＋3＋1)＝0.即23·1＋cosC2－(sinC＋3＋1)＝0，即3cosC－sinC＝1，cosC＋π6＝12.∵C为△ABC的内角，∴0Cπ，∴π6C＋π67π6.从而C＋π6＝π3，∴C＝π6.(2)∵a＝23，c＝2，∴由余弦定理得b2＋232－2×b×23cosπ6＝2，即b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4.19．(12分)已知海岛A四周8海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，在B处望见岛A在北偏东75°，航行202海里后，在C处望见此岛在北偏东30°，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？解：如图所示，在△ABC中，依题意得BC＝202(海里)，∠ABC＝90°－75°＝15°，∠BAC＝60°－∠ABC＝45°.由正弦定理，得ACsin15°＝BCsin45°，所以AC＝202sin15°sin45°＝10(6－2)(海里)．故A到航线的距离为AD＝ACsin60°＝10(6－2)×32＝(152－56)(海里)．因为152－568，所以货轮无触礁危险．20．(12分)如图所示，某动物园要为刚入园的小老虎建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，已知已有的两面墙的夹角为60°(即C＝60°且两面墙的长度足够大)，现有可供建造第三面围墙的材料6米(即AB长为6米)，记∠ABC＝θ.当θ＝105°时，求所建造的三角形露天活动室的面积．解：在△ABC中，ACsinθ＝ABsin60°＝BCsinθ＋60°.化简得AC＝43sinθ(米)，BC＝43sin(θ＋60°)(米)．当θ＝105°时，AC＝43sinθ＝43sin105°＝43cos15°(米)，BC＝43sin(θ＋60°)＝43sin165°＝43sin15°(米)．所以S△ABC＝12AC·BC·sin60°＝33(平方米)．21．(12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ac，已知BA→·BC→＝2，cosB＝13，b＝3.求：(1)a和c的值；(2)cos(B－C)的值．解：(1)由BA→·BC→＝2，得cacosB＝2.又cosB＝13，所以ac＝6.由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB．又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×6×13＝13.解ac＝6，a2＋c2＝13，得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.因为ac，所以a＝3，c＝2.(2)在△ABC中，sinB＝1－cos2B＝1－132＝223，由正弦定理，得sinC＝cbsinB＝23×223＝429.因为a＝bc，所以C为锐角，因此cosC＝1－sin2C＝1－4292＝79.于是cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC＝13×79＋223×429＝2327.22．(12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A＝π4，b2－a2＝12c2.(1)求tanC的值；(2)若△ABC的面积为3，求b的值．解：(1)由b2－a2＝12c2及正弦定理得sin2B－12＝12sin2C，所以－cos2B＝sin2C.①又由A＝π4，即B＋C＝3π4，得－cos2B＝－cos234π－C＝－cos32π－2C＝sin2C＝2sinCcosC，②由①②解得tanC＝2.(2)由tanC＝2，C∈(0，π)，得sinC＝255，cosC＝55.因为sinB＝sin(A＋C)＝sinπ4＋C＝sinπ4cosC＋cosπ4sinC，所以sinB＝31010.由正弦定理得c＝22b3，又因为A＝π4，由S△ABC＝12bcsinA＝3，所以bc＝62，故b＝3.