搜索
1.2.1中心投影与平行投影1.2.2空间几何体的三视图学习目标核心素养1.了解中心投影和平行投影．2．能画出简单空间图形的三视图．(重点)3．能识别三视图所表示的立体模型．(难点)1.通过对中心投影和平行投影学习，培养直观想象的数学素养；2．通过学习三视图，培养逻辑推理、直观想象、数学运算的数学素养.1．投影的概念及分类定义由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影，其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面分类中心投影光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影．中心投影的投影线交于一点平行投影在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影．平行投影的投影线是平行的．在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影2.三视图思考：画三视图时一定要求光线与投射面垂直吗？[提示]正确．由画三视图的规则要求可知正确．1．哪个实例不是中心投影()A．工程图纸B．小孔成像C．相片D．人的视觉A[根据中心投影的概念可知A不是中心投影．]2．如图，小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上形成的投影不可能是()ABCDA[矩形的投影可以是线段，矩形，平行四边形，但不会是梯形．]3．有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个________．棱台[从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但大小不一样，可以判断是棱台．]4．水平放置的下列几何体，正视图是长方形的是________．(填序号)①②③④①③④[①③④的正视图均是长方形，②是等腰三角形．]中心投影和平行投影【例1】(1)下列命题中正确的是()A．矩形的平行投影一定是矩形B．梯形的平行投影一定是梯形C．两条相交直线的投影可能平行D．一条线段的中点的平行投影仍是这条线段投影的中点D[矩形的平行投影可能是线段、平行四边形或矩形，梯形的平行投影可能是线段或梯形，两条相交直线的投影还是相交直线．因此A、B、C均错，故D正确．](2)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是BB1、BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影是()ABCDA[由正投影的定义知，点M、N在平面ADD1A1上的正投影分别是AA1、DA的中点，D在平面ADD1A1上的投影还是D，因此A正确．]判断几何体投影形状的方法及画投影的方法：(1)判断一个几何体的投影是什么图形，先分清楚是平行投影还是中心投影，投影面的位置如何，再根据平行投影或中心投影的性质来判断．(2)画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点、端点等，方法是先画出这些关键点的投影，再依次连接各投影点即可得出此图形在该平面上的投影．1．已知△ABC，选定的投影面与△ABC所在平面平行，则经过中心投影后所得的△A′B′C′与△ABC()A．全等B．相似C．不相似D．以上都不对B[本题主要考查对中心投影的理解．根据题意画出图形，如图所示．由图易得OAOA′＝ABA′B′＝OBOB′＝BCB′C′＝OCOC′＝ACA′C′，则△ABC∽△A′B′C′.]画空间几何体的三视图【例2】(1)沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()B[依题意，侧视图中棱的方向是从左上角到右下角．故选B.](2)画出如图所示几何体的三视图：①②[解]①此几何体的三视图如图③所示；②此几何体的三视图如图④所示．③④1．画组合体三视图的“四个步骤”(1)析：分析组合体的组成形式；(2)分：把组合体分解成简单几何体；(3)画：画分解后的简单几何体的三视图；(4)拼：将各个三视图拼合成组合体的三视图．2．画三视图时要注意的“两个问题”(1)务必做到“正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽”．(2)把可见轮廓线画成实线，不可见轮廓线要画成虚线，重合的线只画一条．2．螺栓是棱柱和圆柱构成的组合体，如图，画出它的三视图．[解]它的三视图如图所示．由三视图还原几何体[探究问题]1．如何由三视图确定几何体的长、宽、高？[提示]由正视图可确定几何体的长、高；由俯视图可确定几何体的宽．2．如图所示的三视图，其几何体是什么？其正视图、侧视图中的三角形的腰是几何体的侧棱长吗？[提示]由三视图可知，该几何体为正四棱锥，如图所示．正视图、侧视图中三角形的腰长不是四棱柱的侧棱长，应为四棱椎的侧面高线．【例3】(1)若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，则这个几何体可能是()A．圆柱B．三棱柱C．圆锥D．球体C[正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆说明此几何体是圆锥．](2)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()ABCDD[对于选项A，B，正视图均不符合要求；对于选项C，俯视图显然不符合要求．只有D符合要求．]由三视图确定几何体一般分两步：第一步：通过正视图和侧视图确定是柱体、锥体还是台体．若正视图和侧视图为矩形，则原几何体为柱体；若正视图和侧视图为等腰三角形，则原几何体为锥体；若正视图和侧视图为等腰梯形，则原几何体为台体．第二步：通过俯视图确定是多面体还是旋转体．若俯视图为多边形，则原几何体为多面体；若俯视图为圆，则原几何体为旋转体．3．根据下列图中所给出的几何体的三视图，试画出它们的形状．①②[解]由三视图的特征，结合柱、锥、台、球及简单组合体的三视图逆推．图①对应的几何体是一个正六棱锥，图②对应的几何体是一个三棱柱，则所对应的空间几何体的图形分别如下：1．三视图的正视图、侧视图、俯视图是分别从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，画几何体三视图的要求是正视图、俯视图长对正，正视图、侧视图高平齐，俯视图、侧视图宽相等，前后对应，画出的三视图要检验是否符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征．2．画组合体的三视图的步骤特别提醒：画几何体的三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示，看不见的轮廓线和棱用虚线表示．1．中心投影的投影线()A．相互平行B．交于一点C．是异面直线D．在同一平面内B[由中心投影的定义知，中心投影的投影线交于一点，故选B.]2．如图网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱B[由题意知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱．]3．一个正三棱柱(俯视图为正三角形)的三视图如图所示，则这个三棱柱的高和底面边长分别为________．2，4[由正三棱柱三视图中的数据，知三棱柱的高为2，底面边长为23×23＝4.]4．画出如图所示的几何体的三视图．[解]该几何体的三视图如图所示．