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1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积A级基础巩固一、选择题1．若圆锥的正视图是正三角形，则它的侧面积是底面积的(C)A.2倍B．3倍C．2倍D．5倍[解析]设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则由题意知，l＝2r，于是S侧＝πr·2r＝2πr2，S底＝πr2.故选C.2．(2018·全国卷Ⅲ理，3)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(A)[解析]观察图形可知，俯视图为，故答案为A.3．(2018·大连海湾高级中学高一检测)圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(A)A．34πB．34C．43πD．43[解析]球的半径为1，圆柱的高的一半为12，设圆柱底面半径为R，∴R2＋(12)2＝12，∴R2＝34，故圆柱的体积为πR2·h＝34π×1＝34π.4．(2018·本溪一中高一期末)已知某几何体的三视图如图所示，主视图和左视图是腰长为a的等腰直角三角形，俯视图是边长为a的正方形，则该几何体的体积为(A)A．16a3B．13a3C．12a3D．23a3[解析]由三视图可得几何体为三棱锥，底面为等腰直角三角形，底面面积为12a2，三棱锥的高也为a，故三棱锥体积V＝13×12a2×a＝16a3.5．如图，点M，N分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1B1，A1D1的中点，用过点A，M，N和点D，N，C1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图依次为(B)A．①③④B．②③④C．①②③D．②④③[解析]由三视图性质可得B.6．(2018·浙江卷，3)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(C)A．2B．4C．6D．8[解析]根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上下底分别为1,2，梯形的高为2，因此几何体的体积为12×(1＋2)×2×2＝6.选C.二、填空题7．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该几何体的表面积为_24＋23_.[解析]该几何体是三棱柱，且两个底面是边长为2的正三角形，侧面是全等的矩形，且矩形的长是4，宽是2，所以该几何体的表面积为2×(12×2×3)＋3×(4×2)＝24＋23.8．(2019·天津卷文，12)已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_π4_.[解析]如图所示，在四棱锥V－ABCD中，O为正方形ABCD的中心，也是圆柱下底面的中心，由四棱锥底面边长为2，可得OC＝1.设M为VC的中点，过点M作MO1∥OC交OV于点O1，则O1即为圆柱上底面的中心．∴O1M＝12OC＝12，O1O＝12VO.∵VO＝VC2－OC2＝2，∴O1O＝1.可得V圆柱＝π·O1M2·O1O＝π×(12)2×1＝π4.三、解答题9．如图所示的几何体是一棱长为4cm的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖一个直径为2cm、深为1cm的圆柱形的洞，求挖洞后几何体的表面积是多少？(π取3.14)[解析]正方体的表面积为4×4×6＝96(cm2)，圆柱的侧面积为2π×1×1≈6.28(cm2)，则挖洞后几何体的表面积约为96＋6.28＝102.28(cm2)．B级素养提升一、选择题1．(2017·浙江，3)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(A)A．π2＋1B．π2＋3C．3π2＋1D．3π2＋3[解析]由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是2的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，∴该几何体的体积V＝13×12π×12×3＋13×12×2×2×3＝π2＋1.故选A.2．(2018·永春一中高一期末)已知某个几何体的三视图如图(主视图中的弧线是半圆)，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是(B)A．8＋2π3cm3B．8＋πcm3C．12＋2π3cm3D．12＋πcm3[解析]由三视图可知几何体上半部分是半圆柱，下半部分是正方体，故此几何体体积为V＝π×122×2＋2×2×2＝8＋π(cm3)．3．(2018·全国卷Ⅰ理，7)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如下图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为(B)A．217B．25C．3D．2[解析]根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为42＋22＝25，故选B.4．(2017·全国卷Ⅰ理，7)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为(B)A．10B．12C．14D．16[解析]观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2，如图所示．因此该多面体各个面中有2个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，故这些梯形的面积之和为2×12×(2＋4)×2＝12.故选B.二、填空题5．已知圆柱OO′的母线l＝4cm，全面积为42πcm2，则圆柱OO′的底面半径r＝_3__cm.[解析]圆柱OO′的侧面积为2πrl＝8πr(cm2)，两底面积为2×πr2＝2πr2(cm2)，∴2πr2＋8πr＝42π，解得r＝3或r＝－7(舍去)，∴圆柱的底面半径为3cm.6．已知斜三棱柱的三视图如图所示，该斜三棱柱的体积为_2__.[解析]由三视图可知，斜三棱柱的底面三角形的底边长为2，高为1，斜三棱柱的高为2，故斜三棱柱的体积为V＝12×2×1×2＝2.7．(2019·全国卷Ⅲ文，16)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_118.8__g.[解析]由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为6cm和4cm，故V挖去的四棱锥＝13×12×4×6×3＝12(cm3)．又V长方体＝6×6×4＝144(cm3)，所以模型的体积为V长方体－V挖去的四棱锥＝144－12＝132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．三、解答题8．如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．[解析]设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S.则R＝OC＝2，AC＝4，AO＝42－22＝23.如图所示易知△AEB∽△AOC，∴AEAO＝EBOC，即323＝r2，∴r＝1，S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝23π.∴S＝S底＋S侧＝2π＋23π＝(2＋23)π.9．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，截下一个棱锥C－A1DD1，求棱锥C－A1DD1的体积与剩余部分的体积之比．[解析]设矩形ADD1A1的面积为S，AB＝h，∴VABCD－A1B1C1D1＝VADD1A1－BCC1B1＝Sh.而棱锥C－A1DD1的底面积为12S，高为h，故三棱锥C－A1DD1的体积为：VC－A1DD1＝13×12S×h＝16Sh，余下部分体积为：Sh－16Sh＝56Sh.所以棱锥C－A1DD1的体积与剩余部分的体积之比为1︰5.