搜索
1.3.2球的体积和表面积A级基础巩固一、选择题1．如果三个球的半径之比是1︰，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的(B)A．59倍B．95倍C．2倍D．3倍[解析]设小球半径为1，则大球的表面积S大＝36π，S小＋S中＝20π，36π20π＝95.2．若两球的体积之和是12π，经过两球球心的截面圆周长之和为6π，则两球的半径之差为(A)A．1B．2C．3D．4[解析]设两球的半径分别为R、r(Rr)，则由题意得4π3R3＋4π3r3＝12π2πR＋2πr＝6π，解得R＝2r＝1.故R－r＝1.3．一个正方体表面积与一个球表面积相等，那么它们的体积比是(A)A．6π6B．π2C．2π2D．3π2π[解析]由6a2＝4πR2得aR＝2π3，∴V1V2＝a343πR3＝34π2π33＝6π6.4．球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是(C)A．π3B．π4C．π2D．π[解析]设正方体的棱长为a，球半径为R，则3a2＝4R2，∴a2＝43R2，球的表面积S1＝4πR2，正方体的表面积S2＝6a2＝6×43R2＝8R2，∴S1︰S2＝π2.5．(2019·福建高三毕业自主检测)某简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在球O的球面上，则球O的体积为(B)A．823πB．43πC．12πD．323π6．若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r、R，则球的表面积为(C)A．4π(r＋R)2B．4πr2R2C．4πRrD．π(R＋r)2[解析]解法一：如图，设球的半径为r1，则在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.由勾股定理得4r21＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝Rr.故球的表面积为D球＝4πr21＝4πRr.解法二：如图，设球心为O，球的半径为r1，连接OA、OB，则在Rt△AOB中，OF是斜边AB上的高．由相似三角形的性质得OF2＝BF·AF＝Rr，即r21＝Rr，故r1＝Rr，故球的表面积为S球＝4πRr.二、填空题7．(2017·天津理，10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_9π2__.[解析]设正方体的棱长为a，则6a2＝18，∴a＝3.设球的半径为R，则由题意知2R＝a2＋a2＋a2＝3，∴R＝32.故球的体积V＝43πR3＝43π×(32)3＝9π2.8．(2018·莆田高一检测)已知两个球的表面积之比为1︰16，则这两个球的半径之比为_1︰4__.[解析]球的表面积公式为4πR2，设两球半径分别为r1，r2，∴4πr214πr22＝116，∴r1r2＝14.三、解答题9．体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形)的全面积分别是S1、S2、S3，试比较它们的大小．[解析]设正方体的棱长为a，球的半径为R，等边圆柱的底面半径为r，则S1＝6a2，S2＝4πR2，S3＝6πr2.由题意知，43πR3＝a3＝πr2·2r，∴R＝334πa，r＝312πa，∴S2＝4π334πa2＝4π·3916π2a2＝336πa2，S3＝6π312πa2＝6π·314π2a2＝354πa2，∴S2S3.又6a2332πa2＝354πa2，即S1S3.∴S1、S2、S3的大小关系是S2S3S1.10．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．[解析]该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π.该组合体的体积V＝43πr3＋πr2l＝43π×13＋π×12×3＝13π3.B级素养提升一、选择题1．用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是(B)[解析]选项D为主视图或者侧视图，俯视图中显然应有一个被遮挡的圆，所以内圆是虚线，故选B.2．(2018·全国卷Ⅰ文，5)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(B)A．122πB．12πC．82πD．10π[解析]根据题意，可得截面是边长为22的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是2的圆，且高为22，所以其表面积为S＝2π(2)2＋2π·2·22＝12π，故选B.3．一个球与一个上、下底面为正三角形，侧面为矩形的棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为32π3，那么这个正三棱柱的体积是(B)A．963B．483C．243D．163[解析]由题意可知正三棱柱的高等于球的直径，从棱柱中间截得球的大圆内切于正三角形，正三角形与棱柱底的三角形全等，设三角形边长为a，球半径为r，由V球＝43×πr3＝32π3解得r＝2.S底＝12×a×a2－a24＝12a·r×3，得a＝23r＝43，所以V柱＝S底·2r＝483.4．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为(C)A．2π3＋12B．4π3＋16C．2π6＋16D．2π3＋12[解析]由已知的三视图可知原几何体的上方是三棱锥，下方是半球，∴V＝13×(12×1×1)×1＋[4π3×(22)3]×12＝16＋2π6，故选C.二、填空题5．一个半径为2的球体经过切割后，剩余部分几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_16π__.[解析]该几何体是从一个球体中挖去14个球体后剩余的部分，所以该几何体的表面积为34×(4π×22)＋2×π×222＝16π.6．(2018·天津理，11)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M－EFGH的体积为_112_.[解析]由题意可得，底面四边形EFGH为边长为22的正方形，其面积SEFGH＝222＝12，顶点M到底面四边形EFGH的距离为d＝12，由四棱锥的体积公式可得：VM－EFGH＝13×12×12＝112.7．一个正四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为_3π__.[解析]如图所示，设正四面体ABCD的高为AO1，球的球心为O，半径为R，则O1B＝33BC＝63.在Rt△AO1B中，AO1＝AB2－BO21＝22－632＝233.在Rt△OO1B中，O1O2＝R2－(63)2＝R2－23.∴AO1＝R＋R2－23＝233，解得R＝32，∴S球＝4π×(32)2＝3π.三、解答题8．盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5cm，两个直径为5cm的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球，则水面将下降多少？[解析]设取出小球后，容器中水面下降hcm，两个小球的体积为V球＝2[4π3×(52)3]＝125π3(cm3)，此体积即等于它们的容器中排开水的体积V＝π×52×h，所以125π3＝π×52×h，所以h＝53，即若取出这两个小球，则水面将下降53cm.9．已知四面体的各面都是棱长为a的正三角形，求它外接球的体积及内切球的半径．[解析]如图，设SO1是四面体S－ABC的高，则外接球的球心O在SO1上．设外接球半径为R.∵四面体的棱长为a，O1为正△ABC中心，∴AO1＝23×32a＝33a，SO1＝SA2－AO21＝a2－13a2＝63a，在Rt△OO1A中，R2＝AO21＋OO21＝AO21＋(SO1－R)2，即R2＝(33a)2＋(63a－R)2，解得R＝64a，∴所求外接球体积V球＝43πR3＝68πa3.∴OO1即为内切球的半径，OO1＝63a－64a＝612a，∴内切球的半径为612a.