2019-2020学年高中数学 第1章 立体几何初步 1.2.3 空间中的垂直关系（第2课时）平面与

第2课时平面与平面垂直学习目标核心素养1.了解面面垂直的定义．(重点)2.掌握面面垂直的判定定理和性质定理．(重点)3.灵活运用线面、面面垂直的判定定理和性质定理解决空间中的位置关系问题．(难点)1.通过平面与平面垂直的定义学习，培养直观想象的核心素养.2.借助线面垂直的判定定理与性质定理，培养逻辑推理、数学抽象的核心素养.1．平面与平面垂直的判定(1)平面与平面垂直①定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．②画法：记作：α⊥β.(2)判定定理文字语言图形语言符号语言如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直l⊥βl⊂α⇒α⊥β2.平面与平面垂直的性质定理文字语言如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面符号语言α⊥βα∩β＝la⊂αa⊥l⇒a⊥β图形语言思考：若定理中的“交线”改为“一条直线”，结论会是什么？[提示]相交或平行．1．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．不确定C[因为l⊥AB，l⊥AC且AB∩AC＝A，所以l⊥平面ABC.同理可证m⊥平面ABC，所以l∥m，故选C.]2．设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则()A．直线a必垂直于平面βB．直线b必垂直于平面αC．直线a不一定垂直于平面βD．过a的平面与过b的平面垂直C[当α⊥β，在平面α内垂直交线的直线才垂直于平面β，因此，垂直于平面β内的一条直线b的直线不一定垂直于β，故选C.]3．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBCD[∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD⊂平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.]4．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________．平行[因为α⊥β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，所以n⊥α.又m⊥α，所以m∥n.]平面与平面垂直的判定【例1】如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上异于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.[证明]连接AC，BC，则BC⊥AC，又PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，又BC⊂平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC.证明面面垂直的方法1．判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；2．性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．1．如图，四棱锥P­ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．求证：平面AEC⊥平面PDB.[证明]∵AC⊥BD，AC⊥PD，PD，BD为平面PDB内两条相交直线，∴AC⊥平面PDB.又∵AC⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB.面面垂直性质定理的应用【例2】如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB.[思路探究](1)菱形ABCD，∠DAB＝60°―→△ABD为正三角形―→BG⊥AD―――――――――→面PAD⊥底面ABCDBG⊥平面PAD(2)要证AD⊥PB，只需证AD⊥平面PBG即可．[证明](1)如图，在菱形ABCD中，连接BD，由已知∠DAB＝60°，∴△ABD为正三角形，∵G是AD的中点，∴BG⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.(2)如图，连接PG.∵△PAD是正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD.又∵PG∩BG＝G.∴AD⊥平面PBG.而PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB.1．面面垂直的性质定理，为线面垂直的判定提供了依据和方法．所以当已知两个平面垂直的时候，经常找交线的垂线，这样就可利用面面垂直证明线面垂直．2．两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线．2.如图所示，四棱锥V­ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.求证：平面VBC⊥平面VAC.[证明]∵平面VAB⊥底面ABCD，且BC⊥AB，平面VAB∩平面ABCD＝AB.∴BC⊥平面VAB，∴BC⊥VA，又VB⊥平面VAD，∴VB⊥VA，又VB∩BC＝B，∴VA⊥平面VBC，∵VA⊂平面VAC.∴平面VBC⊥平面VAC.垂直关系的综合应用[探究问题]1.如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝2a，你能证明PD⊥平面ABCD吗？[提示]∵PD＝a，DC＝a，PC＝2a，∴PC2＝PD2＋DC2，∴PD⊥DC.同理可证PD⊥AD，∵AD⊂平面ABCD，DC⊂平面ABCD，且AD∩DC＝D，∴PD⊥平面ABCD.2．如图所示，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝13DB，点C为圆O上一点，且BC＝3AC，P为母线SA上的点，其在底面圆O上的正投影为点D，求证：PA⊥CD.[提示]连接CO(图略)，由3AD＝DB知，D为AO的中点，又AB为圆O的直径，∴AC⊥CB，由3AC＝BC知，∠CAB＝60°，∴△ACO为等边三角形，从而CD⊥AO.∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D，∴PD⊥平面ABC，又CD⊂平面ABC，∴PD⊥CD，由PD∩AO＝D得，CD⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，∴PA⊥CD.3．试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系．[提示]垂直问题转化关系如下所示：【例3】如图，在四棱锥P­ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，过A，D，N三点的平面交PC于M，E为AD的中点．求证：(1)EN∥平面PDC；(2)BC⊥平面PEB；(3)平面PBC⊥平面ADMN.[思路探究](1)证明EN∥DM；(2)由AD∥BC可证AD⊥平面PEB；(3)利用(2)可证PB⊥平面ADMN.[证明](1)∵AD∥BC，BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，∴AD∥平面PBC.又∵平面ADMN∩平面PBC＝MN，∴AD∥MN.又∵BC∥AD，∴MN∥BC.又∵N是PB的中点，∴点M为PC的中点．∴MN∥BC且MN＝12BC，又∵E为AD的中点，∴MN∥DE，且MN＝DE.∴四边形DENM为平行四边形．∴EN∥DM，且EN⊄平面PDC，DM⊂平面PDC.∴EN∥平面PDC.(2)∵四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，∴BE⊥AD.又∵侧面PAD是正三角形，且E为AD中点，∴PE⊥AD，BE∩PE＝E，∴AD⊥平面PBE.又∵AD∥BC，∴BC⊥平面PEB.(3)由(2)知AD⊥平面PBE，又PB⊂平面PBE，∴AD⊥PB.又∵PA＝AB，N为PB的中点，∴AN⊥PB.且AN∩AD＝A，∴PB⊥平面ADMN.又∵PB⊂平面PBC.∴平面PBC⊥平面ADMN.垂直关系的相互转化在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：提醒：应用面面垂直的性质定理，注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．3．如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，AB＝BC，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．(1)求证：PA⊥BD；(2)求证：平面BDE⊥平面PAC.[证明](1)因为PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，所以PA⊥平面ABC.又因为BD⊂平面ABC，所以PA⊥BD.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知，PA⊥BD，又AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC.因为BD⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面PAC.1．本节课的重点是掌握两个平面互相垂直的定义和画法，理解并掌握两个平面垂直的判定定理与性质定理，并能解决有关面面垂直的问题．难点是综合利用线面、面面垂直的判定定理与性质定理解决关于垂直的问题．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)利用线面垂直的性质证明平行问题．(2)应用面面垂直的判定与性质证明垂直问题．(3)掌握垂直关系的转化．3．本节课的易错点是垂直关系转化中易出现转化混乱错误.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的一条直线不一定垂直于另一个平面．()(2)如果两个平面互相垂直，那么过交线上的一点垂直于交线的直线，垂直于另一个平面．()(3)如果两个平面互相垂直，那么分别在两个平面内的两条直线分别垂直．()[答案](1)√(2)×(3)×[提示](1)正确．(2)错误．必须要在其中一个平面内作直线才能成立．(3)错误．可能平行，也可能相交或异面．2．下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βD[如果平面α⊥平面β，那么平面α内垂直于交线的直线都垂直于平面β，其他与交线不垂直的直线均不与平面β垂直，故D项叙述是错误的．]3．下列四个命题中，正确的序号有________．①α∥β，β⊥γ，则α⊥γ；②α∥β，β∥γ，则α∥γ；③α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ；④α⊥β，γ⊥β，则α∥γ.①②[③④不正确，如图所示，α⊥β，γ⊥β，但α，γ相交且不垂直．]4．(2019·全国卷Ⅲ)图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.图1图2(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求图2中的四边形ACGD的面积．[解](1)由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，故AB⊥平面BCGE.又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)取CG的中点M，连接EM，DM.因为AB∥DE，AB⊥平面BCGE，所以DE⊥平面BCGE，故DE⊥CG.由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC＝60°得EM⊥CG，故CG⊥平面DEM.因此DM⊥CG.在Rt△DEM中，DE＝1，EM＝3，故DM＝2.所以四边形ACGD的面积为4.