2019-2020学年高中数学 第1章 立体几何初步 1.2.3 直线与平面的位置关系（第2课时）直

第2课时直线与平面垂直学习目标核心素养1．能正确判断直线与平面垂直的位置关系．(重点)2．了解点到平面的距离和直线与平面间的距离．(难点)3．理解直线与平面垂直的判定定理和性质定理．(重点、难点)4．了解直线与平面垂直的概念及直线与平面所成角的概念．(重点)通过学习本节内容来提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.1．直线与平面垂直的定义如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，则称直线a与平面α互相垂直，符号表示：a⊥α．直线a叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足．图形表示：2．直线与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面a⊥ma⊥nm∩n＝Amαnαa⊥α3.直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行a⊥αb⊥α⇒a∥b4.距离及直线与平面所成的角(1)距离①点到平面的距离从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫做这个点到这个平面的距离．②直线和平面的距离一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离．(2)直线与平面所成的角平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角．特别地：如果直线和平面垂直，那么就说这条直线与平面所成的角是直角；如果直线与平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角．1.思考辨析(1)若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α.()(2)若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行．()(3)若a∥b，aα，l⊥α，则l⊥b.()(4)若l⊥平面ABCD，则l⊥BC.()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是()A．l与平面α内的两条直线垂直B．l与平面α内的无数条直线垂直C．l与平面α内的某一条直线垂直D．l与平面α内的任意一条直线垂直D[由直线与平面垂直的定义及判定定理知D正确．]3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，已知AB＝1，则点C到平面B1BDD1的距离为________，AB到平面A1B1CD的距离为________．2222[连结AC，BD，则AC⊥BD，又BB1⊥AC，故AC⊥平面B1BDD1，所以点C到平面B1BDD1的距离为12AC＝22，AB到平面A1B1CD距离等于A到该平面的距离，等于22.]4．如图所示，三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于________．45°[∵PA⊥平面ABC，∴∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角，在Rt△PAB中，PA＝AB，∴∠PBA＝45°.]线面垂直的定义及判定定理的应用【例1】如图所示，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥平面PBC.思路探究：只要证AE垂直于平面PBC内两相交直线即可，已知AE⊥PC，再证AE⊥BC，即转为证BC垂直于平面PAC即可．[证明]∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.又∵AE平面PAC，∴BC⊥AE.∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.1.用线面垂直的判定定理判断一条直线与此平面垂直时，需在平面内找两条相交直线，证明一条直线同时垂直于这两条相交直线，这是证明线面垂直的一个常用方法．2.线线垂直与线面垂直的转化关系线线垂直线面垂直1.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.[证明]∵E，F分别是棱AB，BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC.∵ABCD为正方形，∴AC⊥BO，EF⊥BO.又∵BB1⊥平面ABCD，EF平面ABCD，∴EF⊥BB1.又BO∩BB1＝B，∴EF⊥平面BB1O.线面垂直性质定理的应用【例2】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.思路探究：利用线面垂直的性质定理证明EF，BD1垂直于平面AB1C可得结论．[证明]如图所示，连结AB1，B1C，BD，B1D1，∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1，又BD1平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥AC，EF⊥A1D，又A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.空间中证明两条直线平行的方法(1)利用线线平行定义证两线无公共点；(2)若a∥b，b∥c，则a∥c(公理4)；(3)利用线面平行的性质定理把证线线平行转化为证线面平行；(4)若a⊥α，b⊥α，则a∥b(线面垂直的性质定理)．2.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1.[证明]∵在正方体ABCD­A1B1C1D1中，四边形ADD1A1为正方形，∴A1D⊥AD1.又∵CD⊥平面ADD1A1，AD1平面ADD1A1，∴CD⊥AD1.∵A1D∩CD＝D，A1D平面A1DC，CD平面A1DC，∴AD1⊥平面A1DC.又∵MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1.距离问题及直线与平面所成角的求法[探究问题]1．如图，长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1.点B与D1到平面A1C1CA的距离分别是多少？BC1到平面ADD1A1的距离是多少？[提示]由题意知BD＝B1D1＝22，B，D1到平面AC1的距离分别为BD2和B1D12，都为2；BC1到平面AD1的距离等于AB的长，为2.2．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，(1)直线BD1与平面AC及平面A1C1所成的角相等吗？(2)A1B与平面A1B1CD所成的角是多少度？[提示](1)因为平面AC与平面A1C1平行，所以BD1与两平面所成的角相等．(2)A1B与平面A1C所成的角为30°，连结BC1交B1C于点O，连结A1O.设正方体的棱长为a，因为A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，所以A1B1⊥平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1.又因为BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD.所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，即∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角．在Rt△A1BO中，A1B＝2a，BO＝22a，所以BO＝12A1B，∠BA1O＝30°.因此，直线A1B与平面A1B1CD所成的角为30°.【例3】如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M，N分别是A1B，B1C1的中点．(1)求证：MN⊥平面A1BC；(2)求直线BC1与平面A1BC所成的角的大小．思路探究：(1)证明MN∥AC1.(2)C1点在平面A1BC上的射影为A1C中点．[解](1)证明：如图所示，由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，AC∩CC1＝C，得BC⊥平面ACC1A1.连结AC1，则BC⊥AC1.由已知，可知侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1.又BC∩A1C＝C，所以AC1⊥平面A1BC.因为侧面ABB1A1是正方形，M是A1B的中点，连结AB1，则点M是AB1的中点．又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1.故MN⊥平面A1BC.(2)因为AC1⊥平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D，连结BD，则∠C1BD为直线BC1与平面A1BC所成的角．设AC＝BC＝CC1＝a，则C1D＝22a，BC1＝2a.在Rt△BDC1中，sin∠C1BD＝C1DBC1＝12，所以∠C1BD＝30°，故直线BC1与平面A1BC所成的角为30°.求直线与平面所成角的步骤：(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；(2)连结垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．3．如图，正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为2，E，F分别为CC1，DD1的中点．(1)求证：A1F⊥平面BEF；(2)求直线A1B与平面BEF所成的角的正弦值．[解](1)证明：连结AF.∵E，F分别为CC1，DD1的中点，∴EF∥AB且EF＝AB，∴四边形ABEF为平行四边形．又在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AB⊥平面AA1D1D，A1F平面AA1D1D，∴AB⊥A1F，∴EF⊥A1F.由已知，得AF＝2，A1F＝2，AA1＝2，∴A1F2＋AF2＝AA21，∴AF⊥A1F.又AF∩EF＝F，∴A1F⊥平面ABEF，即A1F⊥平面BEF.(2)∵A1F⊥平面BEF.∴A1B在平面BEF上的射影为BF，∴∠A1BF为直线A1B与平面BEF所成的角．由已知，得A1F＝2，A1B＝5，∴sin∠A1BF＝105，即A1B与平面BEF所成角的正弦值为105.1．本节课的重点是理解并掌握直线与平面垂直的定义，明确定义中“任意”两字的重要性；掌握直线与平面垂直的判定定理，并能解决有关线面垂直的问题．难点是了解直线和平面所成的角的含义，并知道其求法．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)证明线面垂直的方法．(2)求斜线与平面所成角的方法步骤．3．本节课的易错点是用线面垂直的判定定理时漏掉两条直线相交这一条件．求线面角时不注意出现的线面垂直条件．1．直线l⊥平面α，直线mα，则l与m不可能()A．平行B．相交C．异面D．垂直[答案]A2．空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是________．垂直[∵l⊥AC，l⊥BC，且AC∩BC＝C，∴l⊥平面ABC，又∵AB平面ABC，∴l⊥AB.]3．已知平面α外两点A，B到平面α的距离分别是2和4，则A，B的中点P到平面α的距离是______．1或3[A，B在α同一侧时，P到α的距离为3；A，B在α异侧时，P到α的距离为1.]4.(2019·全国卷Ⅰ)如图，直四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．(1)证明：MN∥平面C1DE；(2)求点C到平面C1DE的距离．[解](1)连结B1C，ME，因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝12B1C，又因为N为A1D的中点，所以ND＝12A1D.由题设知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED.又MN⊄平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.(2)过C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，所以DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH.从而CH⊥平面C1DE，故CH的长即为C到平面C1DE的距离．由已知可得CE＝1，C1C＝4，所以C1E＝17，故CH＝41717.从而点C到平面C1DE的距离为41717.