2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第1课时 正

1EvaluationWarning:ThedocumentwascreatedwithSpire.Docfor.NET.第一课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性课时分层训练‖层级一‖|学业水平达标|1．下列函数中，最小正周期为4π的是()A．y＝sinxB．y＝cosxC．y＝sinx2D．y＝cos2x解析：选Cy＝sinx的最小正周期为2π，故A项不符合题意；y＝cosx的最小正周期为2π，故B项不符合题意；y＝sinx2的最小正周期为T＝4π，故C项符合题意；y＝cos2x的最小正周期为T＝π，故D项不符合题意，故选C．2．函数y＝2cosπ3－ωx的最小正周期为4π，则ω等于()A．2B．12C．±2D．±12解析：选D∵y＝2cosπ3－ωx＝2cosωx－π3，∴T＝2π|ω|＝4π，∴ω＝±12，故选D.3．设点P是函数f(x)＝sinωx的图象C的一个对称中点，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是π8，则f(x)的最小正周期是()A．π2B．πC．2πD．π4解析：选A依题意得T4＝π8，所以最小正周期为T＝π2.故选A．4．定义在R上的函数y＝f(x)，满足f(x＋2)＝－1fx，则()A．f(x)不是周期函数B．f(x)是周期函数，且最小正周期为2C．f(x)是周期函数，且最小正周期为4D．f(x)是周期函数，且4是它的一个周期2解析：选Df(x＋4)＝－1fx＋2＝f(x)，∴T＝4.5．若函数f(x)＝sinx＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ等于()A．π2B．2π3C．3π2D．5π3解析：选C因为f(x)＝sinx＋φ3是偶函数，所以f(0)＝±1.所以sinφ3＝±1.所以φ3＝kπ＋π2(k∈Z)．所以φ＝3kπ＋3π2(k∈Z)．又因为φ∈[0,2π]所以当k＝0时，φ＝3π2，故选C．6．函数y＝sin2x＋π4＋2的最小正周期是．解析：∵函数y＝sin2x的最小正周期T＝π.∴函数y＝sin2x＋π2＋2的最小正周期为π2.答案：π27．函数y＝cosx1－sinx1－sinx的奇偶性为．解析：由题意，当sinx≠1时，y＝cosx1－sinx1－sinx＝cosx，所以函数的定义域为xx≠2kπ＋π2，k∈Z，由于定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数．答案：非奇非偶函数8．函数y＝cosk4x＋π3(k＞0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是．解析：由T＝2πk4≤2，解得k≥4π.又k∈Z，所以满足题意的k的最小值是13.答案：1339．判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝cosπ2＋2xcos(π＋x)；(2)f(x)＝1＋sinx＋1－sinx；(3)f(x)＝esinx＋e－sinxesinx－e－sinx(e为自然对数的底数)．解：(1)易得x∈R，定义域关于原点对称．f(x)＝cosπ2＋2xcos(π＋x)＝－sin2x(－cosx)＝sin2xcosx.∴f(－x)＝sin(－2x)cos(－x)＝－sin2xcosx＝－f(x)．∴该函数是奇函数．(2)对任意x∈R，－1≤sinx≤1，∴1＋sinx≥0,1－sinx≥0.∴f(x)＝1＋sinx＋1－sinx的定义域为R，关于原点对称．又f(－x)＝1＋sin－x＋1－sin－x＝1－sinx＋1＋sinx＝f(x)，∴该函数是偶函数．(3)∵esinx－e－sinx≠0，∴sinx≠0，∴x∈R且x≠kπ，k∈Z，∴定义域关于原点对称．又f(－x)＝esin－x＋e－sin－xesin－x－e－sin－x＝e－sinx＋esinxe－sinx－esinx＝－f(x)，∴该函数是奇函数．10．已知函数y＝12sinx＋12|sinx|.(1)画出函数的简图；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．解：(1)y＝12sinx＋12|sinx|＝sinx，x∈[2kπ，2kπ＋π]k∈Z，0，x∈[2kπ－π，2kπk∈Z.函数图象如图所示．(2)由图象知该函数是周期函数，且函数的最小正周期是2π.‖层级二‖|应试能力达标|41．已知a∈R，函数f(x)＝sinx＋|a|－1，x∈R为奇函数，则实数a等于()A．0B．1C．－1D．±1解析：选D由题意，得f(0)＝0，即|a|－1＝0，所以a＝±1，即当a＝±1时，f(x)＝sinx为R上的奇函数．2．(2018·吉林大学附中期中)函数y＝sin12x－φ(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ的值是()A．0B．π4C．π2D．π解析：选C∵y＝sin12x－φ(0≤φ≤π)是R上的偶函数，故由选项可验证知φ＝π2.故选C．3．(2018·山东枣庄八中高一月考)函数f(x)＝sinx1＋cosx的奇偶性是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数解析：选A因为f(x)的定义域为{x|x≠2kπ＋π，k∈Z}，关于原点对称，又f(－x)＝sin－x1＋cos－x＝－sinx1＋cosx＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故选A．4.下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是()A．y＝cos|2x|B．y＝|sinx|C．y＝sinπ2＋2xD．y＝cos3π2－2x解析：选D由条件知A、B、C均为偶函数，D中y＝－sin2x，为奇函数，T＝2π2＝π，故选D.5．(2019·福建泉州高三月考)设函数f(x)＝x3cosx＋1，若f(a)＝11，则f(－a)＝.解析：因为f(a)＝a3cosa＋1＝11，所以a3cosa＝10，所以f(－a)＝－a3cos(－a)＋1＝－a3cosa＋1＝－9.答案：－956．设函数f(x)＝3sinωx＋π6(ω＞0)的最小正周期为π2.若fα4＋π12＝95，则sinα的值为．解析：由题意知：T＝2πω＝π2，∴ω＝4，∴f(x)＝3sin4x＋π6.fα4＋π12＝3sin4α4＋π12＋π6＝95，即sinα＋π2＝35.∴cosα＝35，∴sinα＝±1－cos2α＝±45.答案：±457．(2019·四川蓉城名校联盟期末)已知函数f(x)＝2sinπ4－3x＋1，则函数的最小正周期为．解析：函数f(x)＝2sinπ4－3x＋1＝－2sin3x－π4＋1，函数的最小正周期T＝2π3.答案：2π38．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈0，π2时，f(x)＝sinx.(1)当x∈[－π，0]时，求f(x)的解析式；(2)画出函数f(x)在[－π，π]上的函数简图；(3)当f(x)≥12时，求x的取值范围．解：(1)若x∈－π2，0，则－x∈0，π2.因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝sin(－x)＝－sinx.若x∈－π，－π2，则π＋x∈0，π2.6因为f(x)是最小正周期为π的周期函数，所以f(x)＝f(π＋x)＝sin(π＋x)＝－sinx，所以x∈[－π，0]时，f(x)＝－sinx.(2)函数f(x)在[－π，π]上的函数简图，如图所示：(3)由x∈[0，π]sinx≥12，可得π6≤x≤5π6，函数周期为π，所以x的取值范围是kπ＋π6，kπ＋5π6，k∈Z.