2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第2课时 正

1EvaluationWarning:ThedocumentwascreatedwithSpire.Docfor.NET.第二课时正弦函数、余弦函数的单调性与最值课时分层训练‖层级一‖|学业水平达标|1．函数f(x)＝sinx＋π6的一个单调递减区间是()A．－π2，π2B．[－π，0]C．－2π3，2π3D．π2，2π3解析：选D∵2kπ＋π2≤x＋π6≤2kπ＋3π2，k∈Z.∴2kπ＋π3≤x≤2kπ＋4π3，k∈Z.令k＝0得π3≤x≤4π3.又∵π2，2π3⊆π3，4π3，∴函数f(x)＝sinx＋π6的一个单调递减区间为π2，2π3.故选D.2．函数y＝cos2x－π3的单调递减区间是()A．kπ－π2，kπ＋5π12，k∈ZB.kπ＋π3，kπ＋2π3，k∈ZC．kπ＋π6，kπ＋2π3，k∈ZD.kπ＋5π12，kπ＋11π12，k∈Z解析：选C∵2kπ≤2x－π3≤2kπ＋π，k∈Z.∴kπ＋π6≤x≤kπ＋23π，k∈Z.故选C．3．函数y＝3cos2x＋π3＋1取得最大值时，x的值应为()A．2kπ－π3，k∈ZB．kπ－π6，k∈Z2C．kπ－π3，k∈ZD．kπ＋π6，k∈Z解析：选B依题意，当cos2x＋π3＝1时，y有最大值，此时2x＋π3＝2kπ，k∈Z，变形为x＝kπ－π6，k∈Z.故选B.4．(2019·甘肃兰州一中高二期末)y＝cosx2－π6(－π≤x≤π)的值域为()A．－12，12B．[－1,1]C．－12，1D．－12，32解析：选C由－π≤x≤π，可知－π2≤x2≤π2，－2π3≤x2－π6≤π3，所以－12≤cosx2－π6≤1，即所求值域为－12，1，故选C．5．下列关系式中正确的是()A．sin11°cos10°sin168°B．sin168°sin11°cos10°C．sin11°sin168°cos10°D．sin168°cos10°sin11°解析：选C∵sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝sin(90°－10°)＝sin80°，由函数y＝sinx的单调性，得sin11°sin12°sin80°，即sin11°sin168°cos10°.故选C．6．函数y＝2sin2x＋π3－π6≤x≤π6的值域是．解析：因为－π6≤x≤π6，所以0≤2x＋π3≤23π，所以0≤sin2x＋π3≤1，从而0≤2sin2x＋π3≤2，所以0≤y≤2，即值域是[0,2]．答案：[0,2]7．(2018·吉林长春外国语学校高一期中)sin3π5，sin4π5，sin9π10的大小关系为3(用“”连接)．解析：∵π23π54π59π10π，又函数y＝sinx在π2，π上单调递减，∴sin3π5sin4π5sin9π10.答案：sin3π5sin4π5sin9π108．若f(x)＝2sinωx(0ω1)在区间0，π3上的最大值是2，则ω＝.解析：∵x∈0，π3，即0≤x≤π3，且0ω1，∴0≤ωx≤ωπ3π3.∵f(x)max＝2sinωπ3＝2，∴sinωπ3＝22，ωπ3＝π4，即ω＝34.答案：349．求下列函数的单调递增区间．(1)y＝1－cosx2；(2)y＝log12sin2x＋π4.解：(1)由题意可知函数y＝cosx2的单调递减区间为原函数的单调递增区间，由2kπ≤x2≤2kπ＋π(k∈Z)，得4kπ≤x≤4kπ＋2π(k∈Z)，所以函数y＝1－cosx2的单调递增区间为[4kπ，4kπ＋2π](k∈Z)．(2)由对数函数的定义域和复合函数的单调性，可知sin2x＋π40，2kπ＋π2≤2x＋π4≤2kπ＋3π2k∈Z，解得2kπ＋π2≤2x＋π42kπ＋π(k∈Z)，4即kπ＋π8≤xkπ＋3π8(k∈Z)，故所求单调递增区间为kπ＋π8，kπ＋3π8(k∈Z)．10．(1)求函数y＝3－2sinx的最大值和最小值，并分别写出使这个函数取得最大值和最小值时x的集合；(2)求函数y＝2sin2x＋2sinx－12，x∈π6，5π6的值域．解：(1)因为－1≤sinx≤1，所以当sinx＝－1，即x＝2kπ＋3π2，k∈Z时，y取得最大值5，相应的自变量x的集合为xx＝2kπ＋3π2，k∈Z.当sinx＝1，即x＝2kπ＋π2，k∈Z时，y取得最小值1，相应的自变量x的集合为xx＝2kπ＋π2，k∈Z.(2)令t＝sinx，因为x∈π6，5π6，所以12≤sinx≤1，即12≤t≤1.所以y＝2t2＋2t－12＝2t＋122－1，∵以t为自变量的二次函数在12，1上单调递增，∴1≤y≤72，所以原函数的值域为1，72.‖层级二‖|应试能力达标|1．函数y＝1－2cosπ2x的最小值，最大值分别是()A．－1,3B．－1,1C．0,3D．0,1解析：选A∵x∈R，∴π2x∈R.∴y＝cosπ2x的值域为[－1,1]．∴y＝1－2cosπ2x的最大值为3，最小值为－1.故选A．52．已知函数f(x)＝sinx－π2(x∈R)，下面结论错误的是()A．函数f(x)的最小正周期为2πB．函数f(x)在区间0，π2上是增函数C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称D．函数f(x)是奇函数解析：选Df(x)＝sinx－π2＝－cosx，所以f(x)是偶函数，故选D.3．函数y＝|sinx|的一个单调递增区间是()A．－π4，π4B．π4，3π4C．π，3π2D．3π2，2π解析：选C画出y＝|sinx|的图象，如图所示．由图象可知，函数y＝|sinx|的一个单调递增区间是π，3π2.故选C．4．(2019·山东济南一中高一期末)函数f(x)＝sinωx(ω＞0)在区间0，π3上单调递增，在区间π3，π2上单调递减，则ω的最小值为()A．32B．23C．2D．3解析：选A由题意，知当x＝π3时，函数f(x)取得最大值，则sinωπ3＝1，所以ωπ3＝2kπ＋π2(k∈Z)，所以ω＝6k＋32，k∈Z.又ω＞0，所以ωmin＝32，故选A．5．函数y＝sin(x＋π)在－π2，π上的单调递增区间为．解析：因为sin(x＋π)＝－sinx，所以要求y＝sin(x＋π)在－π2，π上的单调递6增区间，即求y＝sinx在－π2，π上的单调递减区间，易知为π2，π.答案：π2，π6．函数y＝2＋cosx2－cosx的最大值为．解析：由y＝2＋cosx2－cosx，得y(2－cosx)＝2＋cosx，则cosx＝2y－2y＋1(y≠－1)，因为－1≤cosx≤1，所以－1≤2y－2y＋1≤1，解得13≤y≤3，所以函数y＝2＋cosx2－cosx的最大值为3.答案：37．函数y＝log2sinx＋π3的单调递增区间为．解析：由题意，得sinx＋π3＞0，所以2kπ＜x＋π3＜π＋2kπ，k∈Z，解得－π3＋2kπ＜x＜2π3＋2kπ，k∈Z.又y＝sinx＋π3的单调递增区间为－5π6＋2kπ，π6＋2kπ，k∈Z，所以函数y＝log2sinx＋π3的单调递增区间为－π3＋2kπ，π6＋2kπ，k∈Z.答案：－π3＋2kπ，π6＋2kπ，k∈Z8．(2018·四川成都树德中学期末)求函数y＝cos2x＋4sinx的最大值和最小值，及取到最大值和最小值时的x的取值集合．解：函数y＝cos2x＋4sinx＝1－sin2x＋4sinx＝－sin2x＋4sinx＋1＝－(sinx－2)2＋5.∵－1≤sinx≤1，∴当sinx＝1，即x＝2kπ＋π2，k∈Z时，ymax＝4；当sinx＝－1，即x＝2kπ－π2，k∈Z时，ymin＝－4.综上，ymax＝4，此时x的取值集合为xx＝2kπ＋π2，k∈Z；ymin＝－4，此时x的取值集合为xx＝2kπ－π2，k∈Z.7