2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 1.4.2.2 正、余弦函数的单调性与最值课后课时

-1-EvaluationWarning:ThedocumentwascreatedwithSpire.Docfor.NET.1.4.2.2正、余弦函数的单调性与最值A级：基础巩固练一、选择题1．函数y＝|sinx|＋sinx的值域为()A．[－1,1]B．[－2,2]C．[－2,0]D．[0,2]答案D解析当sinx≥0，即2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z时，y＝2sinx,0≤y≤2.当sinx0，即2kπ＋πx2π＋2kπ，k∈Z时，y＝0.综上可知，函数的值域为[0,2]．2．函数f(x)＝2sinx－π3，x∈[－π，0]的单调递增区间是()A．－π，－5π6B．－5π6，－π6C．－π3，0D．－π6，0答案D解析令2kπ－π2≤x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，解得2kπ－π6≤x≤2kπ＋5π6，k∈Z，又－π≤x≤0，所以－π6≤x≤0.3．下列函数中，周期为π，且在π4，π2上为减函数的是()A．y＝sin2x＋π2B．y＝cos2x＋π2C．y＝sinx＋π2D．y＝cosx＋π2答案A解析因为函数的周期为π，所以排除C，D．又因为y＝cos2x＋π2＝－sin2x在π4，π2-2-上为增函数，所以B不符合，故选A．4．已知sinα＞sinβ，α∈－π2，0，β∈π，3π2，则()A．α＋β＞πB．α＋β＜πC．α－β≥－3π2D．α－β≤－3π2答案A解析∵β∈π，3π2，∴π－β∈－π2，0，且sin(π－β)＝sinβ.∵y＝sinx在x∈－π2，0上单调递增，∴sinα＞sinβ⇔sinα＞sin(π－β)⇔α＞π－β⇔α＋β＞π，故选A．5．若函数y＝f(x)同时满足下列三个性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x＝π3对称；③在区间－π6，π3上是增函数，则y＝f(x)的解析式可以是()A．y＝sin2x－π6B．y＝sinx2＋π6C．y＝cos2x－π6D．y＝cos2x＋π3答案A解析逐一验证，由函数f(x)的周期为π，故排除B；又∵cos2×π3－π6＝cosπ2＝0，故y＝cos2x－π6的图象不关于直线x＝π3对称，故排除C；对于D，易知函数在区间－π6，π3上是减函数，故排除D．只有A项全符合．二、填空题6．函数y＝sinx的定义域为[a，b]，值域为－1，12，则b－a的最大值与最小值之和为________．答案2π-3-解析∵值域为－1，12，由y＝sinx的图象，知b－a的最大值为π6－－7π6＝4π3，最小值为π6－－π2＝2π3，∴4π3＋2π3＝2π.7．函数y＝2＋cosx2－cosx的最大值为________．答案3解析由y＝2＋cosx2－cosx，得y(2－cosx)＝2＋cosx，即cosx＝2y－2y＋1(y≠－1)，因为－1≤cosx≤1，所以－1≤2y－2y＋1≤1，解得13≤y≤3，所以函数y＝2＋cosx2－cosx的最大值为3.8．函数y＝sin2x＋2cosx在区间－2π3，θ上的最小值为－14，则θ的取值范围是________．答案－2π3，2π3解析因为y＝－cos2x＋2cosx＋1.令t＝cosx，则y＝－t2＋2t＋1＝－(t－1)2＋2.由此函数的最小值为－14，得－12≤t≤1，即cosθ≥－12，解得－2π3≤θ≤2π3.又θ＞－2π3，故θ∈－2π3，2π3.三、解答题9．已知函数y＝a－bcos2x＋π6(b0)的最大值为32，最小值为－12.(1)求a，b的值；-4-(2)求函数g(x)＝－4asinbx－π3的最小值并求出对应x的集合．解(1)∵cos2x＋π6∈[－1,1]，b0，∴－b0，ymax＝b＋a＝32，ymin＝－b＋a＝－12.∴a＝12，b＝1.(2)由(1)知g(x)＝－2sinx－π3，∵sinx－π3∈[－1,1]，∴g(x)∈[－2,2]，∴g(x)的最小值为－2，此时，sinx－π3＝1.对应x的集合为xx＝2kπ＋5π6，k∈Z.B级：能力提升练设关于x的函数y＝2cos2x－2acosx－(2a＋1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)＝12的a的值，并对此时的a值求y的最大值．解令cosx＝t，t∈[－1,1]，则y＝2t2－2at－(2a＋1)，对称轴t＝a2，当a2＜－1，即a＜－2时，[－1,1]是函数y的递增区间，ymin＝1≠12；当a2＞1，即a＞2时，[－1,1]是函数y的递减区间，由ymin＝－4a＋1＝12，得a＝18，与a＞2矛盾；当－1≤a2≤1，即－2≤a≤2时，由ymin＝－a22－2a－1＝12，a2＋4a＋3＝0，得a＝－1或a＝－3，∴a＝－1.此时ymax＝－4a＋1＝5.-5-