2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 4 4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质

-1-EvaluationWarning:ThedocumentwascreatedwithSpire.Docfor.NET.4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4.4单位圆的对称性与诱导公式学习目标核心素养1.了解正弦函数、余弦函数的基本性质．2．会借助单位圆推导正弦函数、余弦函数的诱导公式．(难点)3．掌握诱导公式及其应用．(重点)1.通过借助单位圆推导正弦函数、余弦函数的诱导公式提升逻辑推理素养．2．通过诱导公式的应用提升数学运算素养.1．正弦函数、余弦函数的基本性质从单位圆看出正弦函数y＝sinx有以下性质(1)定义域是R；(2)最大值是1，最小值是－1，值域是[－1,1]；(3)它是周期函数，其周期是2kπ(k∈Z)；(4)在[0,2π]上的单调性为：在0，π2上是单调递增；在π2，32π上是单调递减；在3π2，2π上是单调递增．同样，从单位圆也可看出余弦函数y＝cosx的性质．思考1：正弦函数、余弦函数的最大值、最小值分别是多少？[提示]设任意角x的终边与单位圆交于点P(cosx，sinx)，当自变量x变化时，点P的横坐标是cosx，|cosx|≤1，纵坐标是sinx，|sinx|≤1，所以正弦函数、余弦函数的最大值为1，最小值为－1.2．诱导公式的推导(1)诱导公式(－α，π±α)的推导①在直角坐标系中α与－α角的终边关于x轴对称；α与π＋α的终边关于原点对称；α与π－α的终边关于y轴对称．②公式sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α；sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α；-2-sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α.(2)诱导公式π2±α的推导①π2－α的终边与α的终边关于直线y＝x对称．②公式sinπ2－α＝cos_α，cosπ2－α＝sin_α用－α代替α并用前面公式sinπ2＋α＝cos_α，cosπ2＋α＝－sinα思考2：设α为任意角，则2kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α的终边与α的终边有怎样的对应关系？[提示]它们的对应关系如表：相关角终边之间的对应关系2kπ＋α与α终边相同π＋α与α关于原点对称－α与α关于x轴对称2π－α与α关于x轴对称π－α与α关于y轴对称1．当α∈R时，下列各式恒成立的是()A．sinπ2＋α＝－cosαB．sin(π－α)＝－sinαC．cos(210°＋α)＝cos(30°＋α)D．cos(－α－β)＝cos(α＋β)D[由诱导公式知D正确．]2．cos300°＋sin450°的值是()A．－1＋3B．12C．－1－3D．32D[原式＝cos(360°－60°)＋sin(360°＋90°)-3-＝cos(－60°)＋sin90°＝cos60°＋1＝32.]3．cos2π3的值是()A．－32B．32C．12D．－12D[cos2π3＝cosπ－π3＝－cosπ3＝－12.]4．y＝sinx，x∈－π，π6的单调增区间为________，单调减区间为________．－π2，π6－π，－π2[在单位圆中，当x由－π到π6时，sinx由0减小到－1，再由－1增大到12.所以它的单调增区间为－π2，π6，单调减区间为－π，－π2.]正弦、余弦函数的性质【例1】求下列函数的单调区间、最大值和最小值以及取得最大值和最小值的自变量x的值．(1)y＝sinx，x∈－π6，π；(2)y＝cosx，x∈－π，π3.[解](1)由图①可知，y＝sinx在－π6，π2上是增加的，在π2，π上是减少的．且当x＝π2时，y＝sinx取最大值1，当x＝－π6时，y＝sinx取最小值－12.①(2)由图②可知，y＝cosx在[－π，0]上是增加的，在0，π3上是减少的．且当x＝－π时取最小值－1，当x＝0时，取最大值1.-4-②利用单位圆研究三角函数性质的方法第一步：在单位圆中画出角x的取值范围；第二步：作出角的终边与单位圆的交点P(cosx，sinx)；第三步：研究P点横坐标及纵坐标随x的变化而变化的规律；第四步：得出结论．1．求下列函数的单调区间和值域，并说明取得最大值和最小值时的自变量x的值．(1)y＝－sinx，x∈π3，π；(2)y＝cosx，x∈[－π，π]．[解](1)y＝－sinx，x∈π3，π的单调递减区间为π3，π2，单调递增区间为π2，π.当x＝π2时，ymin＝－1；当x＝π时，ymax＝0，故函数y＝－sinx，x∈π3，π的值域为[]－1，0.(2)y＝cosx，x∈[－π，π]的单调递减区间为[0，π]，单调递增区间为[－π，0]．当x＝0时，ymax＝1；当x＝－π或π时，ymin＝－1，故函数y＝cosx，x∈[－π，π]的值域为[－1,1].给角求值【例2】求下列三角函数式的值：(1)sin495°·cos(－675°)；(2)sin－10π3＋cos29π6.[解](1)sin495°·cos(－675°)＝sin(135°＋360°)·cos675°＝sin135°·cos315°＝sin(180°－45°)·cos(360°－45°)-5-＝sin45°·cos45°＝22×22＝12.(2)sin－10π3＋cos29π6＝－sin10π3＋cos4π＋5π6＝－sin2π＋4π3＋cos5π6＝－sin4π3＋cosπ－π6＝－sinπ＋π3－cosπ6＝sinπ3－cosπ6＝32－32＝0.利用诱导公式，把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤为：任意负角的三角函数――――→利用－α的诱导公式.