2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 8 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质（2）

1EvaluationWarning:ThedocumentwascreatedwithSpire.Docfor.NET.8函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质(2)课时跟踪检测一、选择题1．函数y＝sin(2x＋π)是()A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数解析：y＝sin(2x＋π)＝－sin2x，周期为2π2＝π.∵f(－x)＝－sin2(－x)＝sin2x＝－f(x)，∴y＝sin(2x＋π)为奇函数．答案：A2．已知函数f(x)＝sin2x－π4，若存在α∈(0，π)，使得f(x＋α)＝f(x＋3α)恒成立，则α的值是()A．π6B．π3C．π4D．π2解析：函数f(x)的周期T＝2π2＝π.∵f(x＋α)＝f(x＋3α)，∴T＝2α＝π，即α＝π2.答案：D3．已知函数y＝sinπ4－2x，则其图像的下列结论中，正确的是()A．向左平移π8后得到奇函数B．向左平移π8后得到偶函数C．关于点－π8，1中心对称D．关于直线x＝π8轴对称答案：A4．若将函数y＝2sin2x的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图像的对称轴为()2A．x＝kπ2－π6(k∈Z)B．x＝kπ2＋π6(k∈Z)C．x＝kπ2－π12(k∈Z)D．x＝kπ2＋π12(k∈Z)解析：由题意，将函数y＝2sin2x的图像向左平移π12个单位得y＝2sin2x＋π12＝2sin2x＋π6，则平移后函数的对称轴为2x＋π6＝π2＋kπ，k∈Z，即x＝π6＋kπ2，k∈Z，故选B．答案：B5．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图像关于直线x＝π3对称，且fπ12＝0，则ω的最小值为()A．2B．4C．6D．8解析：由题意得π3ω＋φ＝k1π＋π2(k1∈Z)，π12ω＋φ＝k2π(k2∈Z)，∴π4ω＝(k1－k2)π＋π2(k1，k2∈Z)．∴ω＝4(k1－k2)＋2(k1，k2∈Z)．∵ω＞0，∴ω的最小值为2.答案：A6．设函数f(x)＝cosωx(ω＞0)，将y＝f(x)的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于()A．13B．3C．6D．9解析：依题意得fx－π3＝cosωx－π3＝cosωx－π3ω＝cosωx，∴－π3ω＝2kπ(k∈Z)，∴ω＝－6k.又ω＞0，∴当k＝－1时，ω有最小值6.答案：C二、填空题7．函数y＝sin12x＋π3，x∈－π，π2的单调递增区间为________．解析：由－π2＋2kπ≤12x＋π3≤π2＋2kπ，k∈Z得函数的单调递增区间为34kπ－5π3，π3＋4kπ，k∈Z.又x∈－π，π2，∴单调递增区间为－π，π3.答案：－π，π38．(2018·江苏卷)已知函数y＝sin(2x＋φ)－π2φπ2的图像关于直线x＝π3对称，则φ的值是________．解析：由题意可得sin23π＋φ＝±1，所以23π＋φ＝π2＋kπ，φ＝－π6＋kπ(k∈Z)，因为－π2φπ2，所以当k＝0时，φ＝－π6.答案：－π69．设函数y＝sin(ωx＋φ)ω＞0，φ∈－π2，π2的最小正周期为π，且图像关于直线x＝π12对称，则在下面四个结论中：①图像关于点π4，0对称；②图像关于点π3，0对称；③在0，π6上是增函数；④在－π6，0上是增函数．那么所有正确结论的编号为________．解析：∵2πω＝π，∴ω＝2.∴f(x)＝sin(2x＋φ)，又∵f(x)关于x＝π12对称，∴sin2·π12＋φ＝±1，∴π6＋φ＝kπ＋π2，∴φ＝kπ＋π3，k∈Z，4又∵φ∈－π2，π2，∴令k＝0得φ＝π3，∴f(x)＝sin2x＋π3.令f(x)＝0得2x＋π3＝kπ，∴x＝kπ2－π6，k∈Z，令k＝1得一个对称中心π3，0，令－π2≤2x＋π3≤π2，－512π≤x≤π12，∴f(x)的一个增区间为－512π，π12，又∵－π6，0⊆－512π，π12，∴②④正确．答案：②④三、解答题10．已知函数f(x)＝12sin2x＋π6＋54.(1)求f(x)的最大值、最小值，及相应x的值；(2)求f(x)的最小正周期、对称轴和对称中心；(3)函数f(x)的图像至少向左平移多少个单位长度时才为偶函数？解：(1)当2x＋π6＝2kπ＋π2(k∈Z)时，f(x)有最大值74，即当x＝π6＋kπ(k∈Z)时，f(x)max＝74，当2x＋π6＝－π2＋2kπ(k∈Z)时，f(x)有最小值34，即当x＝kπ－π3(k∈Z)时，f(x)min＝34.(2)由T＝2π|ω|知函数f(x)的最小正周期为T＝π.5令2x＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)，则x＝kπ2＋π6(k∈Z)，∴对称轴为直线x＝kπ2＋π6(k∈Z)，令2x＋π6＝kπ(k∈Z)，则x＝kπ2－π12(k∈Z)，∴对称中心为kπ2－π12，54(k∈Z)．(3)由函数性质知若函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b为偶函数，φ＞0，则φ至少为π2，即y＝12sin2x＋π2＋54＝12cos2x＋54为偶函数．∴应将函数y＝12sin2x＋π6＋54的图像平移至函数y＝12sin2x＋π2＋54的图像处．由函数图像平移方法知：y＝12sin2x＋π6＋54的图像――→向左平移π6个单位长度x≥－2，得0＜x≤16.当2≤x≤16时，f(x)与g(x)在f(x)的每一个周期上的图像均有两个交点，共14个交点；当0＜x＜2时，由图像知有3个交点；当x＞16时，图像无交点．综上可知f(x)＝g(x)共有17个解．