2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数单元质量测评 新人教A版必修4

-1-EvaluationWarning:ThedocumentwascreatedwithSpire.Docfor.NET.第一章单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)等于()A.45B．－45C.35D．－35答案B解析∵r＝42＋－32＝5，∴cosθ＝45，∴cos(π－θ)＝－cosθ＝－45.2．若α是第二象限角，则180°－α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案A解析α为第二象限角，不妨取α＝120°，则180°－α为第一象限角．3．如图，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是()A．(cosθ，sinθ)B．(－cosθ，sinθ)C．(sinθ，cosθ)D．(－sinθ，cosθ)答案A解析设P(x，y)，由三角函数定义知sinθ＝y，cosθ＝x，故P点坐标为(cosθ，sinθ)．-2-4．设α为第二象限角，则sinαcosα·1sin2α－1＝()A．1B．tan2αC．－tan2αD．－1答案D解析sinαcosα·1sin2α－1＝sinαcosα·cos2αsin2α＝sinαcosα·cosαsinα，又∵α为第二象限角，∴cosα0，sinα0.∴原式＝sinαcosα·cosαsinα＝sinαcosα·－cosαsinα＝－1.5．已知sinπ4＋α＝32，则sin3π4－α的值为()A.12B．－12C.32D．－32答案C解析∵π4＋α＋3π4－α＝π，∴3π4－α＝π－π4＋α，∴sin3π4－α＝sinπ－π4＋α＝sinπ4＋α＝32.6．设f(n)＝cosnπ2＋π4，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)等于()A．－2B．－22C．0D.22答案A解析f(n)＝cosnπ2＋π4的周期T＝4；且f(1)＝cosπ2＋π4＝cos3π4＝－22，f(2)＝cosπ＋π4＝－22，f(3)＝cos3π2＋π4＝22，f(4)＝cos2π＋π4＝22.所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，-3-所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2018)＝f(2017)＋f(2018)＝f(1)＋f(2)＝－2.7．函数y＝2tanx－π6，x∈－π6，5π12的值域是()A．[－2,2]B．[－1,1]C．[－23，2]D．[－3，1]答案C解析∵x∈－π6，5π12，∴x－π6∈－π3，π4，∴y＝2tanx－π6∈[－23，2]，故选C.8．若sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝2，则sinθcos3θ＋cosθsin3θ的值为()A．－81727B.81727C.82027D．－82027答案C解析∵sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝2，∴sinθ＝3cosθ.∴sinθcos3θ＋cosθsin3θ＝3cos2θ＋127cos2θ＝8227cos2θ.由sinθ＝3cosθ，sin2θ＋cos2θ＝1得cos2θ＝110，∴sinθcos3θ＋cosθsin3θ＝82027.9．将函数y＝sinx－π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式为()A．y＝sin12xB．y＝sin12x－π2C．y＝sin12x－π6D．y＝sin2x－π6答案C解析将函数y＝sinx－π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，即将x变为12x，即可得y＝sin12x－π3，然后将其图象向左平移π3个单位，即将x变为x＋π3，∴y＝sin12x＋π3－π3＝sin12x－π6.-4-10．已知a＝tan－7π6，b＝cos23π4，c＝sin－33π4，则a，b，c的大小关系是()A．bacB．abcC．bcaD．acb答案A解析a＝tan－π－π6＝－tanπ6＝－33，b＝cos23π4＝cos6π－π4＝cosπ4＝22，c＝sin－33π4＝sin－8π－π4＝－sinπ4＝－22，所以bac.11．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则函数f(x)的一个单调递增区间是()A.－7π12，5π12B.－7π12，－π12C.－π4，π6D.11π12，17π12答案D解析由图象可以知道：14T＝2π3－5π12＝π4，∴T＝2πω＝π，∴ω＝2.又5π12×2＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，且|φ|π2，-5-得φ＝－π3，∴f(x)＝2sin2x－π3.由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，得其单调递增区间为kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)．当k＝1时，单调递增区间为11π12，17π12.故选D.12．在同一平面直角坐标系中，函数y＝cosx2＋3π2(x∈[0,2π])的图象和直线y＝12的交点个数是()A．0B．1C．2D．4答案C解析函数y＝cosx2＋3π2＝sinx2，x∈[0,2π]，图象如图所示，直线y＝12与该图象有两个交点．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知函数f(x)＝3x＋sinx＋1，若f(t)＝2，则f(－t)＝________.答案0解析令g(x)＝3x＋sinx.因为g(x)为奇函数，且f(t)＝3t＋sint＋1＝2，所以g(t)＝3t＋sint＝1，则f(－t)＝g(－t)＋1＝－g(t)＋1＝－1＋1＝0.14．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0，若f(x)在区间π6，π2上具有单调性，且fπ2＝f2π3＝－fπ6，则f(x)的最小正周期为________．答案π解析记f(x)的最小正周期为T.由题意知T2≥π2－π6＝π3，-6-又fπ2＝f2π3＝－fπ6，且2π3－π2＝π6.可作出示意图如图所示(一种情况)：∴x1＝π2＋π6×12＝π3，x2＝π2＋2π3×12＝7π12，∴T4＝x2－x1＝7π12－π3＝π4，∴T＝π.15．已知函数f(x)＝22－x，x≥2，sinπx4，－2≤x2，若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是________．答案(0,1)解析在同一坐标系中作出f(x)与y＝k的图象：观察图象知0k1.16．给出下列4个命题：①函数y＝sin2x－π12的最小正周期是π2；②直线x＝7π12是函数y＝2sin3x－π4的一条对称轴；③若sinα＋cosα＝－15，且α为第二象限角，则tanα＝－34；④函数y＝cos(2－3x)在区间23，3上单调递减．其中正确的是________．(写出所有正确命题的序号)答案①②③-7-解析函数y＝sin2x－π12的最小正周期是π，则y＝sin2x－π12的最小正周期为π2，故①正确．对于②，当x＝7π12时，2sin3×7π12－π4＝2sin3π2＝－2，故②正确．对于③，由(sinα＋cosα)2＝125得2sinαcosα＝－2425，α为第二象限角，所以sinα－cosα＝1－2sinαcosα＝75，所以sinα＝35，cosα＝－45，所以tanα＝－34，故③正确．对于④，函数y＝cos(2－3x)的最小正周期为2π3，而区间23，3长度73＞2π3，显然④错误．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为2π3弧度．求：(1)这个圆心角所对的弧长；(2)这个扇形的面积．解(1)因为扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为2π3弧度，所以半径r＝1sinπ3＝23，所以这个圆心角所对的弧长l＝23×2π3＝43π9.(2)由(1)得扇形的面积S＝12×23×43π9＝4π9.18．(本小题满分12分)已知f(α)＝sin2π－α·cos2π－α·tan－π＋αsin－π＋α·tan－α＋3π.(1)化简f(α)；(2)若f(α)＝18，且π4απ2，求cosα－sinα的值；(3)若α＝－31π3，求f(α)的值．解(1)f(α)＝sin2α·cosα·tanα－sinα－tanα＝sinα·cosα.-8-(2)由f(α)＝sinαcosα＝18可知，(cosα－sinα)2＝cos2α－2sinαcosα＋sin2α＝1－2sinαcosα＝1－2×18＝34.又∵π4απ2，∴cosαsinα，即cosα－sinα0.∴cosα－sinα＝－32.(3)∵α＝－31π3＝－6×2π＋5π3，∴f－31π3＝cos－31π3·sin－31π3＝cos－6×2π＋5π3·sin－6×2π＋5π3＝cos5π3·sin5π3＝cos2π－π3·sin2π－π3＝cosπ3·－sinπ3＝12·－32＝－34.19．(本小题满分12分)已知x∈－π3，2π3，(1)求函数y＝cosx的值域；(2)求函数y＝－3sin2x－4cosx＋4的值域．解(1)∵y＝cosx在－π3，0上为增函数，在0，2π3上为减函数，∴当x＝0时，y取最大值1；当x＝2π3时，y取最小值－12.∴y＝cosx的值域为－12，1.(2)原函数化为：y＝3cos2x－4cosx＋1，即y＝3cosx－232－13.由(1)知，cosx∈－12，1.故y的值域为－13，154.20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的图象上的一个最低点为M2π3，－2，周期为π.(1)求f(x)的解析式；(2)将y＝f(x)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后再将所得的图象沿x轴向右平移π6个单位，得到函数y＝g(x)的图象，写出函数y＝g(x)的解析式；-9-(3)当x∈0，π12时，求函数f(x)的最大值和最小值．解(1)由题可知T＝2πω＝π，∴ω＝2.又f(x)min＝－2，∴A＝2.由f(x)的最低点为M，得sin4π3＋φ＝－1.∵0＜φ＜π2，∴4π3＜4π3＋φ＜11π6.∴4π3＋φ＝3π2，∴φ＝π6，∴f(x)＝2sin2x＋π6.(2)y＝2sin2x＋π6――――――――――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变.