2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数章末复习课学案 北师大版必修4

-1-EvaluationWarning:ThedocumentwascreatedwithSpire.Docfor.NET.第1章三角函数三角函数的定义【例1】已知角θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cosθ＝1010x，求sinθ，tanθ的值．[解]因为r＝x2＋9，cosθ＝xr，所以1010x＝xr＝xx2＋9.又x≠0，所以x＝±1.又y＝30，所以θ是第一或第二象限角．当θ为第一象限角时，sinθ＝31010，tanθ＝3；当θ为第二象限角时，sinθ＝31010，tanθ＝－3.有关三角函数的概念主要有以下两个方面：1任意角和弧度制，理解任意角的概念，弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算2任意角的三角函数，掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域.-2-1．求函数f(x)＝－sinx＋tanx－1的定义域．[解]函数f(x)有意义，则－sinx≥0，tanx－1≥0，即sinx≤0，tanx≥1.如图所示，结合三角函数线知2kπ＋π≤x≤2kπ＋2πk∈Z，kπ＋π4≤xkπ＋π2k∈Z，∴2kπ＋5π4≤x2kπ＋3π2(k∈Z)．故f(x)的定义域为2kπ＋5π4，2kπ＋3π2(k∈Z)．三角函数的诱导公式【例2】已知f(α)＝sin－α＋π2cos3π2－αtanα＋5πtan－α－πsinα－3π.(1)化简f(α)；(2)若α＝－25π3，求f(α)的值．[解](1)f(α)＝cosα·－sinα·tanα－tanα·sinπ＋α＝cosα·sinα·sinαcosα－sinαcosα·sinα＝－cosα.(2)f－25π3＝－cos－25π3＝－cos8π＋π3＝－cosπ3＝－12.-3-正弦函数、余弦函数、正切函数的诱导公式是三角函数值的化简与求值的主要依据．利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，也可以实现正弦与余弦、正切与余切之间函数名称的变换．2kπ＋α，π±α，－α，2π±α，π2±α的诱导公式可归纳为：k×π2＋α(k∈Z)的三角函数值．当k为偶数时，得α的同名三角函数值；当k为奇数时，得α的余名三角函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不变，符号看象限”，这里的奇偶指整数k的奇偶．2．若sin3π2＋θ＝14，求cosπ＋θcosθ[cosπ＋θ－1]＋cosθ－2πcosθ＋2πcosθ＋π＋cos－θ.[解]因为sin3π2＋θ＝14，所以cosθ＝－14.所以cosπ＋θcosθ[cosπ＋θ－1]＋cosθ－2πcosθ＋2πcosθ＋π＋cos－θ＝－cosθcosθ－cosθ－1＋cosθcosθ－cosθ＋cosθ＝cosθcosθcosθ＋1－cosθcosθcosθ－1＝1cosθ＋1－1cosθ－1＝1－14＋1－1－14－1＝3215.三角函数的图像及其变换【例3】如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋kA0，ω0，φπ2的一段图像．(1)求此函数的解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y＝sinx变换得来的．[解](1)由图像知，A＝－12－－322＝12，-4-k＝－12＋－322＝－1，T＝2×2π3－π6＝π，∴ω＝2πT＝2，∴y＝12sin(2x＋φ)－1.当x＝π6时，2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6.∴所求函数解析式为y＝12sin2x＋π6－1.(2)把y＝sinx向左平移π6个单位得到y＝sinx＋π6，然后纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的12，得到y＝sin2x＋π6，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到y＝12sin2x＋π6，最后把函数y＝12sin2x＋π6的图像向下平移1个单位，得到y＝12sin2x＋π6－1的图像．三角函数的图像是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现.在平时的考查中，主要体现在三角函数图像的变换和解析式的确定，以及通过对图像的描绘、观察来讨论函数的有关性质.3．若函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A0,0φπ)在x＝π6处取得最大值，且最大值为3，求函数f(x)的解析式，并说明怎样变换f(x)的图像能得到g(x)＝3sin2x－π6的图像．[解]因为函数f(x)最大值为3，所以A＝3，又当x＝π6时函数f(x)取得最大值，所以sinπ3＋φ＝1.因为0φπ，故φ＝π6，故函数f(x)的解析式为f(x)＝3sin2x＋π6，将f(x)的图像向右平移π6个单位，即得g(x)＝3sin2x－π6＋π6＝3sin2x－π6的图像．-5-三角函数的性质[探究问题]1．如何求三角函数的值域问题？[提示](1)利用sinx，cosx的有界性．(2)从y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．2．如何求三角函数的单调区间？[提示]求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A0，ω0)的函数的单调区间可以通过解不等式方法去解答，即把ωx＋φ视为一个“整体”，分别与正弦函数y＝sinx，余弦函数y＝cosx的单调递增(减)区间对应解出x，即得所求的单调递增(减)区间．【例4】已知函数f(x)＝2sin2x＋π6＋a＋1(其中a为常数)．(1)求f(x)的单调区间；(2)若x∈0，π2时，f(x)的最大值为4，求a的值；(3)求f(x)取最大值时，x的取值集合．[思路探究](1)将2x＋π6看成一个整体，利用y＝sinx的单调区间求解；(2)先求x∈0，π2时，2x＋π6的范围，再根据最值求a的值；(3)先求f(x)取最大值时2x＋π6的值，再求x的值．[解](1)由－π2＋2kπ≤2x＋π6≤π2＋2kπ(k∈Z)，解得－π3＋kπ≤x≤π6＋kπ(k∈Z)，∴函数f(x)的单调增区间为－π3＋kπ，π6＋kπ(k∈Z)，由π2＋2kπ≤2x＋π6≤3π2＋2kπ(k∈Z)，解得π6＋kπ≤x≤2π3＋kπ(k∈Z)，∴函数f(x)的单调减区间为π6＋kπ，2π3＋kπ(k∈Z)．(2)∵0≤x≤π2，∴π6≤2x＋π6≤7π6，∴－12≤sin2x＋π6≤1，-6-∴f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，∴a＝1.(3)当f(x)取最大值时，2x＋π6＝π2＋2kπ(k∈Z)．∴x＝π6＋kπ(k∈Z)．∴当f(x)取最大值时，x的取值集合是xx＝π6＋kπ，k∈Z.将例4中的函数变为“f(x)＝2sin2x－π4(x∈R)”．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间π8，34π上的最大值和最小值．[解](1)∵f(x)＝2sin2x－π4，∴T＝2πω＝2π2＝π，故f(x)的最小正周期为π.(2)f(x)＝2sin2x－π4在区间π8，3π8上是增函数，在区间3π8，3π4上是减函数，∴函数f(x)在x＝3π8处取得最大值，在两端点之一处取得最小值．又fπ8＝0，f3π8＝2，f34π＝－1.故函数f(x)在区间π8，3π4上的最大值为2，最小值为－1.高考中三角函数的性质是必考内容之一，着重考查三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，特别是复合函数的周期性、单调性和最值值域，应引起重视.-7-