电工技能培训专题-电路分析基础-非正弦周期激励电路的稳态响应

10.1非正弦周期信号10.2周期函数展成傅里叶级数10.4非正弦周期激励电路的分析10.3有效值和平均功率第十章非正弦周期激励电路的稳态响应0()utt尖顶冲……0()utt矩形波…0()utt三角波…0()utt半波整流波形…………图10－1－110.1非正弦周期信号电子技术中常见的一些周期信号波形:10.1非正弦周期信号非正弦周期激励作用于电路，求电路的稳态响应，用傅里叶级数先将周期信号展成一系列不同频率、不同幅度的正弦信号，然后让各正弦激励分别作用于电路，求出各正弦激励下的稳态响应的瞬时值，将各响应叠加起来，最终得到非正弦周期激励下的稳态响应。10.2周期函数展成傅里叶级数周期电压、电流信号可以用周期函数表示其中T是周期，-∞t∞k=0,±1,±2,±3…..当周期信号满足狄里赫利条件，就能展成傅里叶级数。狄里赫利条件是：在一个周期内绝对可积，即，在一个周期内只有有限个间断点；在一个周期内只有有限个极大值和极小值。一般工程中的周期信号能满足狄里赫利条件。()()ftftkT0|()|;()Tftdtft展成傅里叶级数0111()[cos()sin()]nnnftaantbnt其中各项系数可按下列公式求出220011()()TTTaftdtftdtTT2211022()cos()()cos()TTTnaftntdtftntdtTT21111011()cos()()()cos()()ftntdtftntdt()ft(10－2－1)10.2周期函数展成傅里叶级数2211022()sin()()sin()TTTnbftntdtftntdtTT21111011()sin()()()sin()()ftntdtftntdt0,1,2,3......n将前两式中同频正弦函数和余弦函数合并得01112121()cos()cos(2)...cos()...mmnmnftAAtAtAnt011cos()nmnnAAnt(10－2－3)10.2周期函数展成傅里叶级数(10－2－1)和(10－2－3)两式中对应的系数关系为10.2周期函数展成傅里叶级数00Aa22nmnnAabnnnbarctgacosnnmnaAsinnnmnbA上式表明，任何周期性时间函数，只要满足狄里赫利条件，就能展成频率为频率整数倍的一系列正弦函数之和。第一项称为恒定分量或直流分量；第二项称为1次谐波，也叫基波分量，频率与相同；第三项频率是基波的二倍频，称为2次谐波；其它各项分别称为3次、4次以至高次谐波分量。()ft0A111cos()mAt212cos(2)mAt10.2周期函数展成傅里叶级数01112121()cos()cos(2)...cos()...mmnmnftAAtAtAnt()ft描绘谐波振幅随频率变化的图形，称为幅度频谱图，如图所示1mA0…112131nn图10－2－1幅度频谱2mA3mAnmA周期函数展成傅里叶级数各次谐波的初相随频率变化的图形称为相位频谱图。由于各谐波的频率是基波频率的整数倍，所以频谱是离散谱。()ft求图示周期矩形波的傅里叶级数，并画出幅度频谱图。0tUmUm()ftT2T32T矩形波例10－2－1解：在内表达式为0~T()ft02()2mmTUtftTUtT展成傅里叶级数001()0TaftdtT21101()cos()naftntdt21111011cos()cos()mmUntdtUntdt1102cos()0mUntdt例10－2－110.2周期函数展成傅里叶级数21101()sin()nbftntdt21111011sin()sin()mmUntdtUntdt11100221sin()[cos()]mmUUntdtntn02[1cos()]4mmnUnUnnn为偶数为奇数()ft的傅里叶级数展开式为111411()[sinsin3sin5...]35mUftttt()ft的幅度频谱图为0…11315171nRmA4mU43mU45mU图10－2－3矩形波幅度频谱图例10－2－1序号的波形图的傅里叶级数12()ft()ft20tA221()(coscos323AAfttt11cos5cos7...)57tt0tA221()(sinsin323AAfttt11sin5sin7...)57tt表10—1几种常见周期函数的傅里叶级数10.2周期函数展成傅里叶级数34502A40tA2A0t241()(sinsin222AAfttt11sin3sin4...)34tt281()(sinsin39Afttt1sin5...)25t4111()(coscos2...)2315Afttt10.3有效值和平均功率由周期信号的有效值定义可知，周期电流信号的有效值为201()TIitdtT(10－3－1)将()it展成傅里叶级数011()cos()nmnnitIInt代入式(10－3－1)得201011[cos()]TnmnnIIIntdtT(10－3－2)一、有效值有效值展开上式20101[cos()]TnmnnIIntdt2220011000112cos()cos()TTTnmnmnnnnIdtIIntdtIntdt110112cos()cos()TkmknmnknknIktIntdt式中220001TIdtIT22210111cos()TnmnnnnIntdtIT有效值由于三角函数的正交性，其余两项均为零010112cos()0TnnIntdtT11012cos()cos()0TkmknmnIktIntdtT所以得到2201nnIII(10－3－3)上式表明，周期信号的有效值等于各次谐波有效值平方和的平方根。011()cos()nmunutUUnt有效值为同理，周期电压信号22021nUUU有效值平均功率设图示二端网络的端口电压，电流为周期性非正弦信号，且为关联参考方向，二端网络N吸收的瞬时功率为010211()()()[cos()][cos()]nmumnminnnptutitUUntIInt()ti()tuN图10－3－1平均功率网络N吸收的平均功率为010001111()cos()TTTnmunnPptdtuidtUUntTTT011cos()nminnIIntdt展开上式有000001TUIdtUIT11011cos()cos()TnmunnminnUntIntdtT1cos()nnuninnUI1cosnnnnUI平均功率其余两交叉项在一周期内积分为0，于是得到001cosnnnnPUIUI01231......nnnPPPPPP上式表明，非正弦周期激励电路，吸收的功率等于其直流分量和各次谐波吸收的平均功率之和。也说明不同频率的电压、电流之间不产生平均功率，只有同频的电压、电流产生平均功率。10.4非正弦周期激励电路的分析非正弦周期信号作用于电路，求其稳态响应的步骤为：(1)按照傅里叶级数，将周期激励信号展开，根据精确度要求取舍高次谐波项；(2)分别求出直流分量和各次谐波分量单独作用时的稳态响应；(3)根据叠加定理，将直流响应和各次谐波分量的瞬时值响应相叠加，最后得到周期激励电路的瞬时值响应。在图10－4－1所示电路中，11Ω,L=2Ω,1ΩRC电源电压111()352cos22cos22cos3...Vsutttt，求电流i和电路的吸收的平均功率。SuiLRC图题10－4－1例10－4－1例10－4－1解：所求电流相量为当n=0时，直流分量0003V,0,0sUIP当n=1时，基波分量例10－4－1例10－4－1将各分量电流的瞬时值叠加为0123()()()()itiititit115cos(45)0.78cos(274.05)0.25cos(379.99)...Aittt电路吸收的总平均功率为(0)(1)(2)(3)...12.83WPPPPP例10－4－222cosVsut52cos1Asit在图示电路中，，，求电压u，电流源供出的平均功率。解：直流电源作用的情况，直流等效电路如图(b)所示005V,1AUI电流源支路供出的平均功率0005WPUI正弦电源作用时，电路的相量模型如图(c)所示例10－4－2用节点电压法求出1111()5211Ujjj111.055.19/U1cos11.055cos5.1955.02WPUI例10－4－2所求电压01()511.052cos(5.19)VutUut电流源供出的功率01555.0260.02WPPP例10－4－2第十章结束