电工技能培训专题-电路分析基础-瞬态电路的分析　

7.1换路定则和初始值7.2一阶电路的零输入响应7.3一阶电路的零状态响应第七章瞬态电路的分析7.5求解一阶电路的三要素公式7.4一阶电路的全响应7.6微分电路与积分电路7.7二阶电路的零输入响应7.8二阶电路的零状态响应1.1.换路定则7.1换路定则和初始值当电路的结构和元件的参数发生变化时电路发生换路。在图7－1－1电路中，当开关在0tt时刻闭合，电源接入电路，电路发生了换路。这个电路的换路情况也可用图7－1－2表示。在SU之前没有电源接入电路。后接入电路。0tSU0ttSU图7－1－10tt1R2RCUS0tSu0t图7－1－2SU1.7.1换路定则若电路在时刻换路，换路前瞬间为，换路后瞬间为，电容电压和电感电流换路时保持不变即0t00)0()0(ccuu(0)(0)LLii（7-1-1）或者用电路的电荷和电感的磁链表示(0)(0)ccqq(0)(0)LL（7-1-2）式7－1－1和式7－1－2称为换路定则。1.7.1换路定则换路定则表明电容电流为有限值时，电容上的电荷和电压在换路瞬间是连续的而不突变。电感电压为有限值时，电感中的磁链和电流在换路瞬间是连续的而不突变。)0()0(ccuu(0)(0)LLii1.2、电路的初始值计算电路在时刻发生换路，换路前储能元件电容电压、电感电流称为初始状态。0t(0)Cu(0)Li(0)Li(0)Cu(0)Ri(0)Lu和各阶导数的值如dtdi)0(、等，称为初始dtdu)0(值或初始条件。初始值通过换路前瞬间(0)Cu(0)Li、值和换路定则来求得。初始状态换路后瞬间各电量值如、、、初始值1.2、电路的初始值计算（1）先求出(0)Cu、值。(0)Li（2）利用换路定则求出、的值，(0)Li(0)Cu(0)(0)llii(0)(0)ccuu，。（3）画出时刻的等效电路，用电流源0t(0)Li替代，用电压源替代，求出待求的(0)Cu(0)Li(0)Cu、、、等值。(0)Ri(0)Lu1.例7－1－1电路的初始值计算电路如图7－1－3（a）所示,开关闭合之前电路已处于稳定状态，开关在时刻闭合，求、和。0t(0)Cu(0)i(0)Ru0tRuUSCui(a)(0)RuUS(0)i(b)(0)Cu图7－1－31.例7－1－1解：0t开关打开，电路处于稳定状态，(0)0VCu时根据换路定则0t(0)(0)0VCCuu0t时的等效电路如图7－1－3（b）所示(0)0Ai(0)SRuU0tRuUSCui(a)(0)RuUS(0)i(b)(0)Cu图7－1－31.例7－1－2电路如图（a）所示，电路处于稳态，当时开关打开，求开关打开瞬间0t(0)Ri(0)Ci(0)Li(0)Lu(0)Ldidt、、、和的值。1.例7－1－2解：0t时开关闭合，电路已处于稳态，等效电路如图（b）所示，求和(0)Li(0)cu15(0)5V213Cu55(0)A213Li据换路定则5(0)(0)A3LLii5(0)(0)V3ccuu1.例7－1－2当时开关打开，等效电路如图（c）所示0t5(0)(0)A3CLii(0)(0)(0)0ARCLiii(0)(0)(0)3(0)1LCCLuuii55(5)5V330(0)(0)5A1S5LLLtdidiudtdtL1.7.2一阶电路的零输入响应含有一个独立的动态元件的电路，描述这样电路的方程是一阶微分方程，该电路称为一阶电路。含有一个电容元件或一个电感元件的电路都是一阶电路。没有外加电源，由电容和电感元件储存的能量激励电路产生的响应称为零输入响应。1.7．2．1RC电路的零输入的响应图示电路，已知电容在开关闭合前已储存有电荷，开关在时刻闭合，电容电压0t0(0)CuU，可以推测电路的工作过程。0(0)(0)CCuuU随后电容储存的电荷通过电阻放电。t电容放电结束，此时()0,()0,()0CRuiu换路时换路瞬间电容电压保持不变，1.当开关闭合后0t，由KVL可得()()CRutut()()(),()cRdututRititCdt又，代入上式可得()()0CCdutRCutdt（7－2－1）7．2．1RC电路的零输入的响应分析电容通过电阻的放电规律1.用经典法解微分方程，首先确定初始值0(0)(0)CCuuU齐次微分方程的通解()stcutAe（7－2－2）将式（7－2－2）代入（7－2－1）可得0ststRCSAeAe得到特征方程10RCS7．2．1RC电路的零输入的响应1.将特征根1SRC代入式（7－2－2）得方程的通解()tRCCutAe在用初始值确定待定系数A00(0)CuAeU0AU0()tRCCutUe()(0)tccutUe或写成（7－2－3）7．2．1RC电路的零输入的响应1.其中RC称为电路的时间常数电路中的电流0()tcRCduUitCedtR或写成()(0)titie（7－2－4）由式（7－2－3），（7－2－4）可归纳出求解一阶电路零输入响应的公式()(0)tytye7．2．1RC电路的零输入的响应1.7．2．1RC电路的零输入的响应为后任一瞬时电路的响应；(0)y0t为时刻的响应值；()yt0t为一阶电路的时间常数。()(0)tytye1.7．2．1RC电路的零输入的响应从曲线的整个时序看出电路经历了三个工作状态，电路处于原稳态；t00U0UR()Cti()Ctu()Ctu()Cti图7－3－20t0(0),(0)0ccuUi0t电路进入瞬态（过度过程），00(),()ttCCUutUeiteR；当时，电路达到新稳态t()0,()0ccui电路响应()Cut和的波形()Cit1.7．2．2RL电路的零输入响应在RL电路中，没有外部激励源作用只是由电感初始储能引起的响应，称为RL电路的零输入响应。图（a)所示电路，开关打开之前电路处于稳定状态时开关打开，等效电路如图(b)所示，根据换路定则(0)Li0(0),0LiIt1.7．2．2RL电路的零输入响应由KVL得代入上式得一阶齐次微分方程又0(0)(0)LLiiI()()RLutut(),()LRLdiutiRutLdt()0LLdiRitdtL特征方程0RSL1.7．2．2RL电路的零输入响应特征根RSL微分方程齐次解stLiAe0(0)RLLiAeA0(0)LAiI0()RtLLitIe()(0)tLLitieLR由初始条件确定A所以或表示为（7-2-1）其中时间系数1.7．2．2RL电路的零输入响应式（7-2-1）符合一阶电路的零输入响应公式()(0)tytye电感电压和电阻电压分别为0()()tLLditutLRIedt0()()tRLutRitRIe(),(),()LRLitutut曲线如图所示。1.7．2．2RL电路的零输入响应的瞬态曲线都以指数衰减规律变化。(),(),()LRLitutut1.7．2．3一阶电路的时间常数在解微分方程时求出的特征根1SS，称为电路的固有频率或自然频率。RCR的单位用欧姆，C的单位用法拉，的单位为秒。LGLR称为时间常数。其中L单位用亨利，R单位用欧姆，的单位为秒。在RL单路中，与都是电路的固有参数，反映了电路的特性。在RC回路中1.7．2．3一阶电路的时间常数值的大小决定了指数函数的衰减速度，te越大，衰减越慢，越小，衰减越快。图给出了三种不同时间常数下的变化曲线。cu1.7．2．3一阶电路的时间常数RC越大说明R或C越大。从物理概念上讲，如C一定，电阻R愈大，则放电电流的起始值就愈小，放电所需时间长，放电速度慢；如，R一定，则放电电流的起始值一定，C愈大，电容起始储存的电荷愈多，放电需要的时间就愈长。t从理论上讲当时按指数规律变化的电量衰减到零，电路的放电结束，瞬态持续的时间是0～∞，实际中取～5），电量已衰减到起(4t始值的1.8%～0.7%，认为放电完毕，瞬态结束。1.7．2．3一阶电路的时间常数零输入响应0()()tytyte，当时，t10()0.368()yeyt，即当电量下降到初始值的36.8%时，时间t对应的值是，如图7—2—6所示，如果作t=0时曲线的切线，切线与t轴的交点在t处。所以可由电路响应曲线用作图方法求出时间常数。1.7．3一阶电路的零状态响应电路的初始状态为零由外加激励引起的响应称为零状态响应。7．3．1RC电路的零状态响应7．3．2RL电路的零状态响应1.7．3．1RC电路的零状态响应在图中电容的初始储能为零，开关在t=0时闭合，时，此刻(0)0cu0t(0)(0)0ccuu电容相当于短路，随后电源给电容充电,分析0t时的电路,列写KVL方程SU()CtuR0t()CitCsRCuuu1.7．3．1RC电路的零状态响应元件的约束关系()(),()cCRCdutitCuRitdt代入上式，得()()ccSdutRCutUdt整理后，得()1()cSCdutUutdtRCRC（7－3－1）1.7．3．1RC电路的零状态响应式（7－3－1）是非齐次一阶微分方程，方程的解包括非齐次方程的特解和齐次方程的()cput解即()chut()()()cchcpututut齐次方程的解()tRCchutAe方程的特解与激励同形式,cpuBB为常数1.7．3．1RC电路的零状态响应代入原方程，得SBUcpSuU原方程（7-3-1）的通解()()()cchcputututtRCSAeU再用初始值确定待定系数A0(0)0cSuAeUSAU方程的解()tRCcSSutUeU(1)tRCSUe（7—3—2）1.7．3．1RC电路的零状态响应回路电流()()(1)tCRCcSdutditCCUedtdttSRCUeR()cut()cit和的曲线如图所示，在时C充电，0t从0开始指数上升，()cutt()cSuU时，达到稳态。()citSUR从开始指数下降，t时()0ci。1.7．3．2RL电路的零状态响应图示电路,时合上开关,电源接入电路,分析电路的过度过程如下.：(0)0Li0t当时0t(0)(0)LLii1.7．3．2RL电路的零状态响应()()LLSditLRitUdt时由KVL可列写出微分方程0t(7－3－3)方程解1()()LLtLpiitit(7－3－4)齐次解()RtLLhitAe（7－3－5）1.7．3．2RL电路的零状态响应特解LPiB代入方程式（7－3－3），得SUBRSLPUiR代入式（7－3－4）得1()()LLtLpiititRtSLUAeR1.7．3．2RL电路的零状态响应由初始条件可求得SUAR()RtSSLLUUiteRR原方程的解(1)RtSLUeR（7—3—6）()()RtcLLSditutLUedt1.7．3．2RL电路的零状态响应零状态的响应曲线如图所示，和()Lit()Lut按指数规律变化。电流初始值随着电源给电感充电(0)0Li()Lit指数上升，()Lut指数下降，当t时，过度过程结束，电路达到新的稳态，电感等效成短路，()SLUiR()0Lu，。1.7．3．2RL电路的零状态响应由式（7—3—2）和（7—3—6）可以总