电工技能培训专题-电路分析基础-正弦稳态电路的分析

第八章正弦稳态电路的分析8．1引言8．2正弦信号8.３正弦信号的相量表示8.4基尔霍夫定律的相量形式8.5电阻、电感、电容元件伏安关系的相量形式第八章正弦稳态电路的分析8.6阻抗和导纳8.7正弦稳态电路的分析8.8正弦稳态电路的功率8.9最大功率传输分析正弦稳态电路通常有两种方法一是时域分析方法,列写微分方程,求方程的特解或稳态解，计算比较复杂；二是相量法分析法。8.1引言两种分析法的简单比较对图示电路求解正弦稳态响应的过程如下CucosSUtRu1.CucosSUtRu两种分析法的简单比较1.用时域分析法列写电路方程cosccsduRCuUtdt代入微分方程比较系数确定和()cos()ccxxutUt设特解为cxUxsin()cos()coscxxcxxsRCUtUtUt解正弦函数方程，定出和，再求出cxUx()cut2.用相量法列写电路电压相量方程解这个代数方程，用复数运算求出，再写出与相对应的瞬时值SRCUUUCUCU()Cut。即求出电路的稳态响应。两种分析法的简单比较8.2.1正弦信号的三个特征量按正弦或余弦规律变化的周期电压、电流、电荷和磁链信号统称为正弦信号。以余弦信号为例，正弦信号的一般表达式为若表示电路中的电流信号，在选定参考方向下，可表示为8.2正弦信号()cos()mftFt()cos()miitItmF2T是正弦信号的振幅或最大值()t是瞬时相位是初相周期T正弦信号每经过一个周期T的时间，相位变化弧度8.2正弦信号()cos()mftFt表示正弦信号单位时间内变化的弧度数，单位为弧度/stf(t)00(a)22fTtf(t)00(b)为角频率或8.2正弦信号1fT表示每秒钟正弦波变化的次数，单位为赫兹（HZ）。正弦量的振幅，频率（或角频率），初相称为正弦量的三个特征量。这三个特征量确定了，正弦量的变化规律就唯一地确定了。mFf5AmI，173rad/s，rad6，()5cos(173)A6itt例如，已知一个正弦电流则8.2正弦信号20()itt相位差,规定180°设两个同频率的正弦信号波形如图8－2－3所示||()cos()muutUt()cos()miitItui0iutuimImU8.2.2相位差与的相位差，同频正弦信号的相位差即是它们的初相之差。ui()()uittui0uiuiui0uiui讨论相位差说明超前于度；u滞后于i度或i趋前于u度8.2.2相位差，表示与同相；,表示与反相；，表示与正交。例8－2－1已知，求与的相位差？解：说明趋前240°。由于规定180°0uiui120ui90uiui()3cos(140)utt()8cos(100)ittui120100240ui（）ui||180ui8.2.2相位差周期电流i流过电阻R在一个周期T内作功与直流电流I流过同样电阻R在同样时间T内所作功相等，称直流电流量I为此周期性电流i的有效值。周期电流i流过电阻R在一个周期T内所作功为200()()TTwptdtRitdt8.2.3有效值•直流电流流过在内所作功为•两者相等即•上式表明，周期性电流的有效值，等于周期性电流瞬时值的平方在一个周期内的平均值再取平方根，因此有效值又称为方均根值IRT220TwRIdtRIT220TIRTiRdt201TIidtT8.2.3有效值•周期电压的有效值•如果周期信号是正弦电流，•有效值为201()TUutdtT()cos()miitIt201[cos()]TmiIItdtT12mTIT2mI0.707mI≈8.2.3有效值•同理可得正弦电压的有效值可见,正弦量有效值是最大值的倍正弦电流和电压也可用有效值表示2mUU0.707mU≈12()2cos()iitIt()2cos()uutUt实际应用中有关交流电流、电压指示值都是有效值，例如电气设备的额定值，仪器仪表的量测值8.2.3有效值8.3正弦信号的相量表示8.３.1复数及其运算法则一、复数的表示设复数式中，是虚数单位。a为复数的实部，b为复数的虚部，a,b都为实数Aajb1jRe[]aAIm[]bA•复数可用复平面上的一点来表示，该点在实轴上的坐标是a，在虚轴上的坐标是b。复数还可用从原点指向点（a，b）的向量来表示，如图所示。该向量的长度称为复数的模，记作22||AababA1j08.３.1复数及其运算法则•复数A的向量与实轴正向间的夹角称为的辐角，记作•复数直角坐标与极坐标的表示为barctgaabA1j0||cosaA||sinbA或||AA8.３.1复数及其运算法则•复数的三角表示为•由欧拉公式•复数的指数表示||(cossin)AAjcossinjej||jAAe8.３.1复数及其运算法则二、复数的代数运算设复数复数的加、减运算111Aajb222Aajb12AA1122()()ajbajb1212()()aajbb8.３.1复数及其运算法则复数的乘除运算采用极坐标形式11111||_/AajbA22222||_/AajbA121212||||/AAAA111222||/||AAAA8.３.1复数及其运算法则共轭复数的性质=实部相同,虚部符号相反的两个复数称为共轭复数,例如复数A,其共轭复数记作8.３.1复数及其运算法则•用直角坐标形式和极坐标形式表示式的结果。•解＝＝＝＝1.11－2.27j例8－３－１用相量法分析正弦稳态电路，先讨论用相量表示正弦量。由欧拉公式8.3.2正弦量的相量表示设正弦电流用复数表示其中称为电流的振幅相量8.3.2正弦量的相量表示称为电流的有效值相量是复常量，它们的模是正弦电流的最大幅度或有效值幅度，幅角是正弦电流的初相角。8.3.2正弦量的相量表示在同一电路里，各正弦稳态响应都与激励同频率，因此，用振幅（或有效值）与初相就能确定正弦响应中的电流。所以或是能够表征正弦电流的复数。在式(8-3-1)中，,相量与相乘，幅角是时间t的函数，随着时间的推移，相量以原点为中心，以角速度作周期性旋转。因此称为旋转相量，其中称为旋转因子8.3.2正弦量的相量表示（１）求对应的相量并画出相量图；（２）求相位差。解：（１）对应的振幅相量为例８－３－２已知正弦电流和电压对应的有效值相量对应的相量相量图为（2）与的相位差•电流滞后电压40°•解题时注意，相量与正弦量（或瞬时值）是对应关系不是相等关系已知正弦电路某三支路电压的相量分别为画出相量图，写出对应的正弦电压表达式。解：为了表示统一，将三支路电压相量表示成标准的振幅相量形式例8－３－３相量图为所对应的正弦电压为或者8.4基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫电流定律(KCL)时域表示当电路处于正弦稳态时,各支路电流都是同频率正弦电流,于是上式可表示为因，或所以KCL相量形式表明，正弦稳态电路中，任一节点上各支路电流相量代数和为零。8.4基尔霍夫定律的相量形式KCL相量形式注意，电流相量的代数和为零，意味着节点上各支路电流的瞬时值代数和为零，而不是电流振幅值或有效值代数和为零，即它表明，正弦稳态电路中，沿着任一回路的所有支路电压相量的代数和为零。8.4基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫电压定律的相量形式注意，电压相量的代数和为零，意味着回路中各支路电压的瞬时值代数和为零，而不是电压的振幅值或有效值代数和为零，即某电路节点电流为如8-4-1图所示，求并画出电路相量图。解：先将电流换算成同一函数形式，写出已知电流的相量。例8－4－1由KCL得对应的相量图8.5电阻、电感、电容元件伏安关系的相量形式一、电阻元件伏安关系的相量形式设流过电阻R的电流为由欧姆定律得对应的相量形式或比较得电阻电压的有效值等于电阻电流有效值与电阻乘积，电压与电流相位相同。电阻元件相量模型图如8－5－1所示，电压与电流相量图如8－5－2所示。电阻元件相量模型电感电压为二、电感元件伏安关系的相量形式设流过电感元件L的电流为电感元件的伏安关系的相量形式其中称为感抗，单位是。或电感电压与电流的有效值关系为电压相位超前电流90度，相量图如图所示或可写为即电感元件相量模型如图所示设电容两端电压为流过电容电流为三、电容元件伏安关系的相量形式比较上两式也可写为电容电压与电流的有效值关系为电压相位滞后电流电容元件的电压电流相量图8.6阻抗和导纳一．阻抗由R、L、C元件组成的无源二端网络如图所示，电流相量和电压相量为关联参考方向，电压相量与电流相量的比称为二端网络的等效阻抗，即Z的单位为。Z为复数其中是阻抗的模，它是二端网络输入电压和电流的振幅或有效值之比阻抗角是端电压与电流之间的相位差阻抗模及阻抗角与电阻和电抗的关系为阻抗三角形阻抗是复量，不是相量，不能代表正弦量。R、L、C三元件的阻抗求R、L、C串联电路的阻抗。解：由于例8－6－1电路等效阻抗的值域取决于电路的性质，讨论如下无源二端网络的阻抗导纳二、导纳8.6阻抗和导纳导纳是阻抗的倒数，也是复量单位为西门子（s），式中G是导纳的实部，称为电导，B是导纳的虚部，称为电纳,是导纳的模，为导纳角。R、L、C元件的导纳分别为、与G、B的关系阻抗与导纳的转换模和幅角为8.6阻抗和导纳二端网络的阻抗它可等效为一个电阻和一个电抗的串联，如图（a）所示。二端网络的导纳，它可等效为一个电导和一个电纳元件的并联，如图（b）所示。三、阻抗、导纳串并联电路8.6阻抗和导纳若干个导纳并联，如图所示。等效导纳为若干个阻抗串联，如图（c）所示。等效阻抗为已知图（a)所示电路的电压、电流为1）求输入阻抗Z，并画出等效电路图。2）求输入导纳Y，并画出等效电路图解：电压、电流的振幅相量例8－6－2、1）输入阻抗对应的元件值等效电路如图（b）所示。2）输入导纳对应的元件值等效电路如图（c）所示。图示电路，求，与的相位差。解：电路的输入阻抗电流有效值例8－6－3电流电压相量图如图所示。8.7正弦稳态电路的分析KCL、KVL和元件的伏安关系是分析电路的基本依据，前面已经定义了这两类约束关系的相量形式，相量形式的电路方程和电阻电路的电路方程一样，也是线性代数方程，所以分析电阻电路的定律、定理、方法和公式等，都适用于相量法分析正弦稳态电路。以下举例说明正弦稳态电路的分析计算。图（a）电路，求电路的戴维南等效电路。例8－7－1解：电路的相量模型如图（b）所示开路电压相量等效阻抗开路电压相量戴维南等效电路如图（c）所示。列写图示电路的节点电压方程和网孔电流方程。解：选④为参考节点，节点电压方程为例8－7－2网孔电流方程电路如图所示，求与的相位差。解：为节点电压，列写节点电压方程例8―7―38.8正弦稳态电路的功率8.8.1瞬时功率一个无源二端网络N，端口电压与电流是关联参考方向，如图所示，网络N在任一瞬时吸收的功率为设端口电压、电流分别为阻抗角二端网络吸收的瞬时功率为第一项是不随时间变化的恒定值，如波形图虚线所示；第二项是以为中心线，随时间变化的正弦波。符号相同时，，二端网络从外电路吸收能量。符号相异时，，二端网络向外电路释放能量。瞬时功率在一个周期内的平均值称为平均功率，即P也称有功功率，单位是瓦特（w）。8.8.2平均功率当二端网络是纯电阻时当二端网络是纯电感时当二端网络是阻抗时，可以用等效电路表示，如图（a）所示。二端网络吸收的平均功率，就是网络中电阻消耗的功率。假设若二端网络中有N个电阻，网络吸收的总平均功率等于各电阻吸收的平均功率之和，即8.8.2平均功率电感和电容虽然不消耗能量，但却存在与外电路交换能量的过程，这种能量交换用无功功率来计量。8.