第33讲-几何推理题

第33讲几何推理题几何推理题是中考必考题型，考查知识全面，综合能力强，把几何知识与代数知识有机结合起来，渗透数形结合思想，重在考查分析问题的能力、逻辑思维推理能力．第33讲┃几何推理题┃考向互动探究┃探究一几何计算题例1[2013·湘西]如图33－1，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC＝6，BC＝8，CD＝3.(1)求DE的长；(2)求△ADB的面积．第33讲┃几何推理题【例题分层探究】(1)由角平分线和垂直关系，如何求线段DE的长度？(2)求△ADB的面积的关键是什么？第33讲┃几何推理题(1)由∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB可知，DE＝CD，所以DE＝CD＝3.(2)已知AC和BC的长度及∠C＝90°，利用勾股定理可求AB的长，再利用三角形面积公式及(1)中DE的长度可求△ADB的面积．【解题方法点析】第33讲┃几何推理题解：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AC⊥CD.又AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴DE＝CD.又CD＝3，∴DE＝3.(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝AC2＋BC2＝62＋82＝10.∴S△ADB＝12AB·DE＝12×10×3＝15.第33讲┃几何推理题例2如图33－2，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．(1)求∠AOD的度数；(2)若AO＝8cm，DO＝6cm，求OE的长．第33讲┃几何推理题【例题分层探究】(1)切线长定理是什么？能根据切线长定理求出∠AOD的度数吗？(2)△AOD的形状有什么特征？此时△AOD的面积有表示方法？(3)若AO＝8cm，DO＝6cm，如何求OE的长度？第33讲┃几何推理题第33讲┃几何推理题(1)从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角．根据切线长定理可知，AO平分∠BAD，DO平分∠ADC，所以∠DAO＝12∠BAD，∠ADO＝12∠ADC.又因为AB∥CD，所以∠BAD＋∠ADC＝180°，所以∠DAO＋∠ADO＝12(∠BAD＋∠ADC)＝90°，根据三角形内角和可知∠AOD＝90°.第33讲┃几何推理题(2)由∠AOD＝90°可知△AOD为直角三角形，△AOD的面积有两种表示法：①12OE·AD；②12OA·OD.(3)在Rt△AOD中，利用勾股定理可求AD的长，再根据OE是Rt△AOD斜边上的高，用直角三角形的面积可求OE的长．【解题方法点析】第33讲┃几何推理题解：(1)∵AB∥CD，∴∠BAD＋∠ADC＝180°.∵⊙O内切于梯形ABCD，∴AO平分∠BAD，有∠DAO＝12∠BAD；DO平分∠ADC，有∠ADO＝12∠ADC.∴∠DAO＋∠ADO＝12(∠BAD＋∠ADC)＝90°.∴∠AOD＝180°－(∠DAO＋∠ADO)＝90°.第33讲┃几何推理题(2)∵在Rt△AOD中，AO＝8，DO＝6，∴由勾股定理，得AD＝AO2＋DO2＝10.∵E为切点，∴OE⊥AD，有∠AEO＝90°，∴∠AEO＝∠AOD.又∵∠OAD为公共角，∴△AEO∽△AOD，∴OEOD＝AOAD，∴OE＝AO·ODAD＝8×610＝4.8.因此，OE的长为4.8cm.第33讲┃几何推理题探究二几何证明题例3如图33－3，点O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F.(1)求证：四边形CDOF是矩形；(2)当∠AOC为多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．第33讲┃几何推理题【例题分层探究】(1)矩形判定有哪几种方法？(2)根据OA＝OC，OD平分∠AOC，试判断OD和AC存在什么样的位置关系？(3)根据OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，试判断OD和OF存在什么样的位置关系？(4)根据(1)知四边形CDOF是矩形，若四边形CDOF是正方形，还应具备什么条件？此时∠AOC的度数是多少？第33讲┃几何推理题第33讲┃几何推理题(1)①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③三个角都是直角的四边形是矩形．(2)由OA＝OC可得，△AOC是等腰三角形，再由OD平分∠AOC，根据等腰三角形的“三线合一”可推知OD⊥AC.第33讲┃几何推理题(3)由OD平分∠AOC及OF平分∠OB，可知∠COD＝12∠AOC，∠COF＝12∠BOC，所以∠COD＋∠COF＝12∠AOC＋12∠BOC＝12(∠AOC＋∠BOC)＝12∠AOB＝90°，所以OD⊥OF.(4)还应具备邻边相等，此时矩形的邻边OD＝CD，又由△AOC是等腰三角形，所以OD＝CD＝12AC，所以△AOC应为直角三角形，故可知∠AOC＝90°.【解题方法点析】第33讲┃几何推理题解：(1)证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB(已知)，∴∠AOC＝2∠COD，∠COB＝2∠COF.∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∴2∠COD＋2∠COF＝180°，∴∠COD＋∠COF＝90°，∴∠DOF＝90°.∵OA＝OC，OD平分∠AOC(已知)，∴OD⊥AC，AD＝DC(等腰三角形“三线合一”的性质)．∴∠CDO＝90°.∵CF⊥OF，∴∠CFO＝90°，∴四边形CDOF是矩形．(2)当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形．理由如下：∵∠AOC＝90°，AD＝DC，∴OD＝DC.又由(1)知四边形CDOF是矩形，则四边形CDOF是正方形，因此，当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形．第33讲┃几何推理题例4[2013·鄂州]已知：如图33－4，AB为⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F.求证：(1)DE为⊙O的切线；(2)AB∶AC＝BF∶DF.第33讲┃几何推理题【例题分层探究】(1)DE与⊙O有什么样的位置关系？(2)若连接OD，DA，如何证明△ABD∽△CAD及△FAD∽△FDB?(3)根据△ABD∽△CAD及△FAD∽△FDB，能推出AB∶AC＝BF∶DF吗？为什么？第33讲┃几何推理题第33讲┃几何推理题(1)连接OD，AD，求出∠CDA＝∠BDA＝90°，求出∠1＝∠4，∠2＝∠3，推出∠4＋∠3＝∠1＋∠2＝90°，根据切线的判定可知DE为⊙O的切线．(2)由∠3＋∠DBA＝90°，∠3＋∠4＝90°，根据同角的余角相等，可得∠4＝∠DBA，又由∠CDA＝∠BDA＝90°，根据两角对应相等的两个三角形相似，故可证得△ABD∽△CAD；由OD＝OB，根据等边对等角可知∠BDO＝∠DBO，又由∠FDB＋∠BDO＝90°及∠DBO＋∠3＝90°，根据等角的余角相等，可得∠3＝∠FDB，根据两角对应相等的两个三角形相似，故可证得△FAD∽△FDB.(3)根据△ABD∽△CAD，推出ABAC＝BDAD，由△FAD∽△FDB，推出BDAD＝BFDF，即可得出AB∶AC＝BF∶DF.【解题方法点析】第33讲┃几何推理题证明：(1)连接DO，DA，∵AB为⊙O的直径，∴∠CDA＝∠BDA＝90°.∵CE＝EA，∴DE＝EA，∴∠1＝∠4.∵OD＝OA，∴∠2＝∠3.∵∠4＋∠3＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，即∠EDO＝90°.∵OD是半径，∴DE为⊙O的切线．第33讲┃几何推理题(2)∵∠3＋∠DBA＝90°，∠3＋∠4＝90°，∴∠4＝∠DBA.∵∠CDA＝∠BDA＝90°，∴△ABD∽△CAD，∴ABAC＝BDAD.∵∠FDB＋∠BDO＝90°，∠DBO＋∠3＝90°.又∵OD＝OB，∴∠BDO＝∠DBO，∴∠3＝∠FDB.∵∠F＝∠F，∴△FAD∽△FDB，∴BDAD＝BFDF，∴ABAC＝BFDF，即AB∶AC＝BF∶DF.第33讲┃几何推理题┃考题实战演练┃1．如图33－5，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，则DE等于()A.1013B.1513C.6013D.7513第33讲┃几何推理题C[解析]连接AD，∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，BD＝CD＝12×10＝5，∴AD＝132－52＝12.∵△ABC的面积是△ABD面积的2倍，∴2×12AB·DE＝12BC·AD，∴DE＝10×122×13＝6013.故答案选C.第33讲┃几何推理题2．[2013·自贡]如图33－6，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG＝42，则△EFC的周长为()A．11B．10C．9D．8第33讲┃几何推理题D[解析]∵在□ABCD中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠BAF＝∠DAF.∵AB∥DF，AD∥BC，∴∠BAF＝∠F＝∠DAF＝∠AEB，∴AB＝BE＝6，AD＝DF＝9，∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形．∵AD∥BC，∴△EFC是等腰三角形，且FC＝CE，∴EC＝FC＝9－6＝3.在△ABG中，BG⊥AE，AB＝6，BG＝42，∴AG＝AB2－BG2＝2，∴AE＝2AG＝4，∴△ABE的周长等于16.又∵△CEF∽△BEA，相似比为1∶2，∴△CEF的周长为8.第33讲┃几何推理题3．[2013·嘉兴]如图33－7所示，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC.若AB＝8，CD＝2，则EC的长为()A．215B．8C．210D．213第33讲┃几何推理题D[解析]∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB＝8，∴AC＝12AB＝4.设⊙O的半径为r，则OC＝r－2，在Rt△AOC中，∵AC＝4，OC＝r－2，∴OA2＝AC2＋OC2，即r2＝42＋(r－2)2，解得r＝5，∴AE＝2r＝10.连接BE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°.在Rt△ABE中，∵AE＝10，AB＝8，∴BE＝AE2－AB2＝102－82＝6.在Rt△BCE中，∵BE＝6，BC＝4，∴CE＝BE2＋BC2＝62＋42＝213.第33讲┃几何推理题4．[2012·乐山]如图33－8，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，点E，F分别在AC，BC边上运动(点E不与点A，C重合)，且保持AE＝CF，连接DE，DF，EF.在此运动变化的过程中，有下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF不可能为正方形；③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；④点C到线段EF的最大距离为2.其中正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4第33讲┃几何推理题B[解析]①连接CD(如图)．∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠DCB＝∠A＝45°，CD＝AD＝DB.∵AE＝CF，∴△ADE≌△CDF(SAS)，∴ED＝DF，∠CDF＝∠EDA.∵∠ADE＋∠EDC＝90°，∴∠EDC＋∠CDF＝∠EDF＝90°，∴△DFE是等腰直角三角形．故此结论正确．②当E，F分别为AC，BC中点时，由三角形中位线定理，DE平行且等于12BC，∴四边形CEDF是平行四边形．又∵E，F分别为AC，BC中点，AC＝BC，∴四边形CEDF是菱形．又∵∠C＝90°，∴四边形CEDF是正方形．故此结论错误．第33讲┃几何推理题③如图，分别过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，垂足分别为M，N，由②知四边形CMDN是正方形，∴DM＝DN，由①，知△DFE是等腰直角三角形，∴DE＝DF，∴Rt△MDE≌Rt△NDF(HL)，∴由割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN的面积，∴四边形CEDF的面积不随点E位置的改变而发生变化．故此结论错误．第33讲┃几何推理题④由①知△DEF是等腰直角三角形，∴DE＝22EF.当DF与BC垂直，即DF最小时，EF取最小值22.此时点C到线段EF的最大距离为2.故此结论正确．故正确的有2个：①④.故选B.第33讲┃几何推理题5．[2013·遵义]如图33－9，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是A