第36讲-操作探究题

第36讲操作探究题操作探究题可分为折叠操作题、平移旋转变换题和图形分割操作题三种类型，解决这类问题需要通过观察、操作、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括等实践活动和思维过程，灵活运用所学知识和生活经验，探索和发现结论，从而解决问题．第36讲┃操作探究题┃考向互动探究┃探究一图形剪拼例1现有一块等腰三角形板，量得周长为32cm，底比一腰多2cm，若把这个三角形纸板沿其对称轴剪开，拼成一个四边形，请画出你能拼成的各种四边形的示意图，并计算拼成的各个四边形的两条对角线长的和．第36讲┃操作探究题【例题分层探究】等腰三角形是轴对称图形，如果沿对称轴剪开可以得到两个全等的直角三角形．(1)利用给出的等腰三角形周长为32cm，底比腰多2cm，是否可以求出三角形的三条边？(2)将两个全等的直角三角形进行拼凑，可以得到什么样的四边形？(3)在拼凑的图形中，如何利用已知边长求出四边形对角线的长度？第36讲┃操作探究题(1)设等腰三角形的腰为xcm，可建立方程求出三角形的三条边为10cm，10cm，12cm.(2)矩形、平行四边形、不规则四边形．(3)略．第36讲┃操作探究题【解题方法点析】图形拼凑问题的关键是找到所拼凑的图形中的对应线段，利用对应线段能够重合这一特点，将分割的图形重新组合，在解此类题时经常结合图形的平移、旋转等性质．第36讲┃操作探究题解：如图，∵等腰三角形的周长为32cm，底比一腰多2cm，∴AB＝AC＝10cm，BD＝CD＝6cm，AD＝8cm.第36讲┃操作探究题拼成的各种四边形如下：①矩形：∵AB＝10，∴四边形的两条对角线长的和是10×2＝20(cm)．第36讲┃操作探究题②平行四边形1：连接BC，过点C作CE⊥BD交BD的延长线于点E，∵BC＝BE2＋CE2＝122＋82＝413(cm)，∴四边形的两条对角线长的和是BC＋AD＝(413＋8)(cm)；第36讲┃操作探究题③平行四边形2：连接AA′，过点A′作A′E⊥AD交AD的延长线于点E，∵AA′＝AE2＋A′E2＝162＋62＝273(cm)，∴四边形的两条对角线长的和是BD＋AA′＝(6＋273)(cm)；第36讲┃操作探究题④不规则四边形：连接DD′交AB于点O.易知，△ADB∽△DOB.∴DOAD＝BDBA，即DO8＝610.∴DO＝4.8cm.∵DD′＝2DO＝2×4.8＝9.6(cm)，∴四边形的两条对角线长的和是AC＋DD′＝10＋9.6＝19.6(cm)．第36讲┃操作探究题探究二折叠形操作题例2[2012·兰州]如图36－1①，矩形纸片ABCD，把它沿对角线BD向上折叠．(1)在图②中用实线画出折叠后得到的图形(要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；(2)折叠后重合部分是什么图形？说明理由．第36讲┃操作探究题【例题分层探究】(1)图形的折叠，能得到哪些性质？(2)折叠前后两个图形与折叠之间有什么关系？(3)若利用轴对称如何作出折叠后的图形？(4)若利用角平分线性质如何作出折叠后的图形？第36讲┃操作探究题(1)图形的折叠可得到全等形，即相等的边和角．(2)折叠前后两个图形关于折痕成轴对称，其中折痕所在的直线就是它们的对称轴．(3)先作点C关于BD的对称点E，然后连接DE和BE，所得的三角形为所求作的折叠图形．(4)先作∠BDG＝∠BDC，然后过B点作BH⊥DG，垂足为E，所得的三角形为所求作的折叠图形．【解题方法点析】在解决有关折叠问题时，关键要抓住折叠的性质，在图形的折叠过程中，折叠前后的两个图形全等，且关于折痕成轴对称．第36讲┃操作探究题解：(1)作法参考：方法1：作∠BDG＝∠BDC，在射线DG上截取DE＝DC，连接BE；方法2：作∠DBH＝∠DBC，在射线BH上截取BE＝BC，连接DE；方法3：作∠BDG＝∠BDC，过B点作BH⊥DG，垂足为E；方法4：作∠DBH＝∠DBC，过D点作DG⊥BH，垂足为E；∴△DEB为所求作的图形.第36讲┃操作探究题(2)等腰三角形．∵△BDE是△BDC沿BD折叠而成，∴△BDE≌△BDC，∴∠FDB＝∠CDB.∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC，∴∠FDB＝∠ABD，∴△BDF是等腰三角形．第36讲┃操作探究题探究三平移和旋转型操作题例3如图36－2①所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF.现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，旋转角为α.第36讲┃操作探究题(1)当点D′恰好落在EF边上时，求旋转角α的值；(2)如图②，G为BC的中点，且0°＜α＜90°，求证：GD′＝E′D；(3)小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能，说明理由．第36讲┃操作探究题【例题分层探究】(1)图形的旋转有哪些特征？(2)在图36－2①中，当点D′恰好落在EF边上时，如何求旋转角α的值？(3)在图36－2②中，G为BC的中点，如何证明△GCD′≌△E′CD?(4)小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′在什么情况下可以全等？此时的旋转角α的值是多少？第36讲┃操作探究题第36讲┃操作探究题(1)①对应点到旋转中心的距离相等；②任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都相等，都是旋转角；③旋转只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状(旋转前后的两个图形全等)，对应线段相等，对应角相等．(2)根据旋转的性质得CD′＝CD＝2，在Rt△CED′中，CD′＝2，CE＝1，则∠CD′E＝30°，然后根据平行线的性质即可得到α＝30°.(3)由G为BC中点可得CG＝CE，根据旋转的性质得CE＝CE′，又∠D′CE′＝∠DCE＝90°，则∠GCD′＝∠DCE′＝90°＋α，然后根据“SAS”可判断△GCD′≌△E′CD.(4)根据正方形的性质得CB＝CD，而CD＝CD′，则△DCD′与△CBD′为腰相等的两等腰三角形，当两顶角相等时它们全等，若△DCD′与△CBD′为钝角三角形，可计算出α＝135°；若△DCD′与△CBD′为锐角三角形时，可计算出α＝315°.【解题方法点析】旋转图形有三个要素：(1)旋转中心；(2)旋转方向；(3)旋转角．画旋转图形的关键是确定各顶点旋转后的位置，旋转前后各顶点相互之间的位置关系保持不变．利用这种不变性，可快速确定某些顶点旋转后的位置．第36讲┃操作探究题第36讲┃操作探究题解：(1)∵DC∥EF，∴∠DCD′＝∠CD′E＝α.∵sinα＝CECD′＝CECD＝12，∴α＝30°.(2)∵G为BC中点，∴GC＝CE′＝CE＝1.∵∠D′CG＝∠DCG＋∠DCD′＝90°＋α，∠DCE′＝∠D′CE′＋∠DCD′＝90°＋α，∴∠D′CG＝∠DCE′.又∵CD′＝CD,∴△GCD′≌△E′CD,∴GD′＝E′D.(3)能．α＝135°或α＝315°.探究三图形分割操作题例4(1)如图36－3①，在△ABC中，∠C＝90°，请用直尺和圆规作一条直线，把△ABC分割成两个等腰三角形(不写作法，但须保留作图痕迹)；(2)已知内角度数的两个三角形如图②、图③所示．请你判断，能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形？若能，请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数．第36讲┃操作探究题【例题分层探究】(1)等腰三角形有哪些性质？(2)在图36－3①中，若过点C作一条直线，交AB于点M，使∠ACM＝24°，那么△BCM的三个内角分别是多少度？可能为等腰三角形吗？用类似的方法，过点B和点A可以吗？(3)在图②和图③中，类似(1)，探究△ABC可能分为两个等腰三角形吗？若能，请指出如何作．第36讲┃操作探究题第36讲┃操作探究题(1)①等腰三角形的两个底角相等，简称等角对等边；②等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边(也即顶角的平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合)．(2)由∠A＝24°，∠ACB＝90°可知∠B＝66°，∠BCM＝90°－∠ACM＝66°，∠BMC＝∠A＋∠ACM＝48°，所以△BCM是等腰三角形.过点B和点A作直线都不能将△ABC分割成两个等腰三角形．(3)图②过点B作一条直线交AC于M点，使∠ABM＝24°，可得到顶角分别是132°和84°的两个等腰三角形，图③无论过哪个顶点都不能分割成两个等腰三角形．【解题方法点析】分割问题通常是先给出一个图形(这个图形可能是规则的，也有可能不规则)，然后用直线、线段等把该图形分割成面积相同、形状相同的几部分．解决这类问题的时候可以借助对称的性质、面积公式等进行分割．第36讲┃操作探究题第36讲┃操作探究题解：(1)如图，直线CM即为所求；(2)图②能画一条直线分割成两个等腰三角形，分割成的两个等腰三角形的顶角分别是132°和84°，图③不能分割成两个等腰三角形．┃考题实战演练┃1．如图36－4，从边长为(a＋4)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a＋1)cm的小正方形(a0)，剩余部分沿虚线剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则矩形的面积为()A．(2a2＋5a)cm2B．(3a＋15)cm2C．(6a＋9)cm2D．(6a＋15)cm2第36讲┃操作探究题D第36讲┃操作探究题[解析]矩形的面积为大正方形与小正方形的面积之差，即(a＋4)2－(a＋1)2＝(6a＋15)cm2，故答案选D.2．[2013·深圳]如图36－5，有一张一个角为30°，最小边长为2的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是()A．8或23B．10或4＋23C．10或23D．8或4＋23第36讲┃操作探究题D第36讲┃操作探究题[解析]如图，有三种拼接方式，前一种拼接方式的周长为4＋23，后两种拼接方式的周长均为8，故选D.3．如图36－6，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，∠B＝120°，OA＝2，将菱形OABC绕原点顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为()A．(2，－2)B．(－2，2)C．(－3，3)D．(3，－3)第36讲┃操作探究题A第36讲┃操作探究题[解析]连接OB，OB′，过点B′作B′E⊥x轴于E，根据题意得∠BOB′＝105°.∵四边形OABC是菱形，∴OA＝AB，∠AOB＝12∠AOC＝12∠ABC＝12×120°＝60°，∴△OAB是等边三角形，∴OB＝OA＝2，∴∠AOB′＝∠BOB′－∠AOB＝105°－60°＝45°，OB′＝OB＝2，∴OE＝B′E＝OB′·sin45°＝2×22＝2，∴点B′的坐标为(2，－2)．故应选A.4．[2012·南京]如图36－7，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°.将纸片折叠，点A，D分别落在点A′，D′处，且A′D′经过点B，EF为折痕．当D′F⊥CD时，CFFD的值为()A.3－12B.36C.23－16D.3＋18第36讲┃操作探究题A第36讲┃操作探究题[解析]延长FD′和AB的延长线相交于点G，因为四边形ABCD是菱形，所以可得∠BGD′＝90°.设FD′与CB的交点为H，CF的长为1，D′G＝x.在直角三角形FCH中，因为∠C＝60°，所以∠CHF＝30°，所以CH＝2，FH＝3.根据菱形的性质及点D和点D′对称，所以∠BD′F＝120°，所以∠BD′G＝60°，∠D′BG＝30°，又因为∠BGD′＝90°，所以BD′＝2x，则D′H＝2x.在直角三角形BGH中，BH＝23x.因为CD＝BC，DF＝FD′，所以1＋3＋2x＝2＋23x，x＝12，2x＝1，即FD＝FD′＝3＋1.所以CFFD＝13＋1＝3－12.故答案选A.5．将矩形纸片ABCD，按如图36－8所示的方式折叠，点A，C恰好落在对角线BD上，得到菱形BEDF.若BC＝6，则AB的长为________．第36讲┃操作探究题23第36讲┃操作探究题[解析]∵四边形BEDF是菱形，∴OB＝OD＝12BD.∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°.设