第38讲-开放探究题

第38讲开放探究题开放探究题大致可分为：条件开放探究题、结论开放探究题及存在性问题，这类题由于具有不确定性或者不唯一性，需从多角度、多层次去考虑问题，利用多模式、发散性等方式去解决问题，一般通过观察、联想、分析、比较、归纳、概括来发现解题条件或结论或结论成立的条件．第38讲┃开放探究题┃考向互动探究┃探究一条件开放探究例1如图38－1，已知点B，F，C，E在一条直线上，FB＝CE，AC＝DF.能否由上面的已知条件证明AB∥ED？如果能，请给出证明；如果不能，请从下面三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使AB∥ED成立，并给出证明．供选择的三个条件(请从中选择一个)：①AB＝ED；②BC＝EF；③∠ACB＝∠DFE.第38讲┃开放探究题【例题分层探究】(1)本题中BC和EF有什么关系？请给予说明；(2)本题能否证明△ABC≌△DEF？若不能，则需添加什么条件？并说明添加条件的理由．第38讲┃开放探究题(1)因为FB＝CE，所以FB＋CF＝CE＋CF，即BC＝EF.(2)由已知只能得到AC＝DF，FB＝CE，故不能证明△ABC≌△DEF，可添加AB＝ED，利用“SSS”证明△ABC≌△DEF或添加∠ACB＝∠DFE，利用“SAS”证明△ABC≌△DEF.第38讲┃开放探究题【解题方法点析】条件开放型探究题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，追本溯源，逐步探求．第38讲┃开放探究题解：由题中已知两个条件不能证明AB∥ED.(以下给出两种添加方法，写出其一即可)方法一：FB＝CE，AC＝DF，添加①AB＝ED.证明：因为FB＝CE，所以FB＋CF＝CE＋CF，即BC＝EF.又AC＝DF，AB＝ED，所以△ABC≌△DEF(SSS)．所以∠ABC＝∠DEF，所以AB∥ED.方法二：FB＝CE，AC＝DF，添加③∠ACB＝∠DFE.证明：因为FB＝CE，所以FB＋CF＝CE＋CF，即BC＝EF.又∠ACB＝∠DFE，AC＝DF，所以△ABC≌△DEF(SAS)．所以∠ABC＝∠DEF，所以AB∥ED.第38讲┃开放探究题探究二结论开放探究例2如图38－2，梯形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC与BD相交于点E，在不添加任何辅助线的情况下：(1)图中共有几对全等三角形，请把它们一一写出来，并选择其中一对全等三角形进行证明；(2)若BD平分∠ADC，请找出图中与△ABE相似的所有三角形．第38讲┃开放探究题【例题分层探究】(1)本题图中哪些角相等？(2)利用这些相等的角，能证明哪几对三角形全等？(3)若BD平分∠ADC，利用两角对应相等的两个三角形相似，你在图中能找到哪几个三角形与△ABE相似？第38讲┃开放探究题第38讲┃开放探究题(1)∠BAC＝∠BDC，∠ABD＝∠ACD，∠ACB＝∠CAD＝∠ADB＝∠CBD，∠BAD＝∠ADC，∠ABC＝∠DCB，∠AEB＝∠CED，∠AED＝∠BEC.(2)①△ADB≌△DAC，②△ABE≌△DCE，③△ABC≌△DCB.(3)图中与△ABE相似的三角形有：△DCE，△DBA，△ACD.【解题方法点析】结论开放型探究题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍．第38讲┃开放探究题解：(1)图中共有三对全等三角形：①△ADB≌△DAC，②△ABE≌△DCE，③△ABC≌△DCB.选择①△ADB≌△DAC，证明：在⊙O中，∠ABD＝∠DCA，∠BCA＝∠BDA.∵BC∥AD，∴∠BCA＝∠CAD，∴∠CAD＝∠BDA.又∵AD＝AD，∴△ADB≌△DAC(AAS)．(2)图中与△ABE相似的三角形有△DCE，△DBA，△ACD.第38讲┃开放探究题探究三存在性探究例3[2012·贵阳]如图38－3，二次函数y＝12x2－x＋c的图象与x轴分别交于A，B两点，顶点M关于x轴的对称点是M′.(1)若A(－4，0)，求二次函数的关系式；(2)在(1)的条件下，求四边形AMBM′的面积；(3)是否存在抛物线y＝12x2－x＋c，使得四边形AMBM′为正方形？若存在，请求出此抛物线的函数关系式；若不存在，请说明理由．第38讲┃开放探究题【例题分层探究】(1)在问题(1)的条件下，利用对称性，如何求四边形AMBM′的面积？(2)若抛物线与x轴有两个交点，那么c应满足什么条件？(3)若存在四边形AMBM′为正方形，对角线AB和MM′之间有什么关系？如何求AB和MM′的长度？第38讲┃开放探究题第38讲┃开放探究题(1)把二次函数的关系式整理成顶点式，根据对称性求出点B的坐标，求出AB的长．根据顶点坐标求出点M到x轴的距离，然后求出△ABM的面积，根据对称性可得S四边形AMBM′＝2S△ABM，然后计算即可得解；(2)∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＝b2－4ac＝(－1)2－4×12c＞0，解得c＜12；(3)根据正方形的性质可知，AB和MM′相等且互相垂直平分．令y＝0，得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系可求出AB的长度，根据抛物线的关系式求出顶点M的纵坐标，进而根据对称性可求出MM′的长度．【解题方法点析】解存在性问题有两种方法：①直接通过推理说明假设的矛盾性，由此得出不存在；②通过假设存在→推理论证→得出结论，若得出结论合理，可以作出存在判断，若结论矛盾，就作出不存在判断.,第38讲┃开放探究题解：(1)∵A(－4，0)在二次函数y＝12x2－x＋c的图象上，∴12×(－4)2－(－4)＋c＝0，解得c＝－12.∴二次函数的关系式为y＝12x2－x－12.第38讲┃开放探究题(2)∵y＝12x2－x－12＝12(x2－2x＋1)－252＝12(x－1)2－252，∴顶点M的坐标为1，－252.∵点A的坐标为(－4，0)，对称轴为x＝1，∴点B的坐标为(6，0)，∴AB＝6－(－4)＝6＋4＝10.∴S△ABM＝12×10×252＝1252.∵顶点M关于x轴的对称点是M′，∴S四边形AMBM′＝2S△ABM＝2×1252＝125.第38讲┃开放探究题(3)存在抛物线y＝12x2－x－32，使得四边形AMBM′为正方形．理由如下：在y＝12x2－x＋c中，令y＝0，则12x2－x＋c＝0，设点A，B的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，则x1＋x2＝－－112＝2，x1·x2＝c12＝2c，∴AB＝x1＋x2＝x2－x1＝x2－x12＝x1＋x22－4x1x2＝4－8c，点M的纵坐标为：4×12×c－14×12＝2c－12.第38讲┃开放探究题∵顶点M关于x轴的对称点是M′，四边形AMBM′为正方形，∴4－8c＝2×2c－12，整理得4c2＋4c－3＝0，解得c1＝12，c2＝－32.又∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＝b2－4ac＝(－1)2－4×12c＞0，解得c＜12，∴c的值为－32.∴存在抛物线y＝12x2－x－32，使得四边形AMBM′为正方形．第38讲┃开放探究题┃考题实战演练┃1．[2013·临沂]如图38－4，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定．．．成立的是()A．AB＝ADB．AC平分∠BCDC．AB＝BDD．△BEC≌△DEC第38讲┃开放探究题C第38讲┃开放探究题[解析]因为AC垂直平分BD，由对称可知△BEC≌△DEC，△BEA≌△DEA，所以AB＝AD,AC平分∠BCD.故答案选C.2．[2013·钦州]请写出一个图象经过第一、三象限的正比例函数的解析式___________________．第38讲┃开放探究题y＝x(答案不唯一)[解析]设此正比例函数的解析式为y＝kx(k≠0)，∵此正比例函数的图象经过第一、三象限，∴k0，∴符合条件的正比例函数解析式可以为y＝x(答案不唯一)．3．[2012·赤峰]存在两个变量x与y，y是x的函数，该函数同时满足两个条件：①图象经过(1，1)点；②当x＞0时，y随x的增大而减小，这个函数的解析式是__________________________．第38讲┃开放探究题本题答案唯一，如y＝1x第38讲┃开放探究题[解析]先确定函数，再求解析式，本题中的函数可以为一次函数、反比例函数，也可以为二次函数，如为反比例函数，设反比例函数的解析式为y＝kx(k0)，把(1，1)代入得k＝1，所以函数解析式为y＝1x.4．如图38－5，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，连接DE，要使△ADE∽△ACB，还需添加一个条件_________________________________________________________________________________________．(只需写一个)第38讲┃开放探究题答案不唯一，如∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或AD∶AC＝AE∶AB或AD·AB＝AE·AC等第38讲┃开放探究题[解析]∵∠A是公共角，∴当∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B时，△ADE∽△ACB(有两角对应相等的两个三角形相似)，当AD∶AC＝AE∶AB或AD·AB＝AE·AC时，△ADE∽△ACB(两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似)．5．[2013·南昌]先化简，再求值：x2－4x＋42x÷x2－2xx2＋1，在0，1，2三个数中选一个合适的，代入求值．第38讲┃开放探究题解：原式＝（x－2）22x·x2x（x－2）＋1＝x－22＋1＝x2.当x＝1时，原式＝12(x不能取0，2)．6．[2012·南京]看图说故事．请你编写一个故事，使故事情境中出现的一对变量x，y满足图38－6所示的函数关系，要求：①指出变量x和y的含义；②利用图中的数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中必须涉及“速度”这个量．第38讲┃开放探究题第38讲┃开放探究题[解析]①结合实际意义得到变量x和y的含义；②由于函数须涉及“速度”这个量，只要叙述清楚时间及相应的路程，体现出函数的变化即可．第38讲┃开放探究题解：本题答案不唯一，下列解法供参考．①该函数图象表示小明骑车离出发地的路程y(单位：km)与他所用的时间x(单位：min)的关系．②小明以0.4km/min的速度匀速骑了5min，在原地休息了6min，然后以0.5km/min的速度匀速骑车回到出发地．7．[2013·杭州]如图38－7，四边形ABCD是矩形，用直尺和圆规作出∠A的平分线与BC边的垂直平分线的交点Q(不写作法，保留作图痕迹)．连接QD，在新图形中，你发现了什么？请写出一条．第38讲┃开放探究题第38讲┃开放探究题解：图略．发现：QD＝AQ或者∠QAD＝∠QDA等．8．[2012·宜宾]如图38－8，在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点．(1)求证：△ABE∽△ECM；(2)探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；(3)当线段AM最短时，求重叠部分的面积．第38讲┃开放探究题第38讲┃开放探究题[解析](1)利用全等三角形的对应角相等确定相似的条件；(2)分情况讨论，显然AE，AM不能作腰，当AE，EM作腰时，容易求得BE＝1，当AM，EM作腰时，利用△CAE∽△CBA求CE，进而求出BE的值；(3)设BE为x，通过相似用x表示CM，进而表示AM，通过二次函数的性质确定AM的最值，进而确定重叠部分的面积．第38讲┃开放探究题解：(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵△ABC≌△DEF，∴∠AEF＝∠B.∵∠AEF＋∠CEM＝∠AEC＝∠B＋∠BAE，∴∠CEM＝∠BAE.∴△ABE∽△ECM.第38讲┃开放