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分层练透教材，多重拓展培优第一章·勾股定理数学·八年级上册·北师课时学习区第一节探索勾股定理第一节课时1探索勾股定理课时1过基础教材核心知识精练过基础·教材核心知识精练1.[2020吉林长春期末]如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A,B都是格点,则线段AB的长度为()A.5B.6C.7D.25答案1.A【解析】如图,在Rt△ABC中,AC=4,BC=3,由勾股定理,得AB2=AC2+BC2=42+32=52,所以AB=5.故选A.知识点1勾股定理过基础·教材核心知识精练2.易错题下列说法中正确的是()A.已知a,b,c是三角形的三边长,则a2+b2=c2B.在直角三角形中,两边的平方和等于第三边的平方C.在Rt△ABC中,若∠C=90°,则BC2+AC2=AB2D.在Rt△ABC中,若∠B=90°,则BC2+AC2=AB2答案2.C知识点1勾股定理3.[2019湖北鄂州模拟]如图是一张直角三角形纸片,∠C=90°,直角边AC=6cm,BC=8cm.现将△ABC折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,则BE的长为()A.4cmB.5cmC.6cmD.10cm答案3.B【解析】在Rt△ABC中,∠C=90°,所以AB2=AC2+BC2=62+82=100,所以AB=10cm,又由折叠的性质可知BE=AE=12AB=5cm.故选B.过基础·教材核心知识精练4.易错题[2019河北唐山路北区期中]在△ABC中,∠B=90°,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边.(1)如果a=5,c=12,那么b=;(2)如果b=61,a=60,那么c=.答案4.(1)13;(2)11【解析】(1)在△ABC中,∠B=90°,a=5,c=12,所以b2=a2+c2=52+122=132,所以b=13.(2)在△ABC中,∠B=90°,b=61,a=60,所以c2=b2-a2=612-602=112,所以c=11.知识点1勾股定理过基础·教材核心知识精练5.[2020江苏无锡期中]如图,在△ABC中,CD⊥AB,垂足为点D,AC=20,BC=15,BD=9.求:(1)CD的长;(2)△ABC的面积.答案5.【解析】(1)因为CD⊥AB,所以∠CDB=∠CDA=90°,在Rt△BDC中,根据勾股定理,得CD2+BD2=BC2,即CD2+92=152,所以CD=12.(2)在Rt△ADC中,根据勾股定理,得AD2+CD2=AC2,即AD2+122=202,所以AD=16,所以AB=AD+BD=16+9=25,所以S△ABC=12AB·CD=12×25×12=150.知识点1勾股定理过基础·教材核心知识精练6.[2019山东济南育华中学月考]如图,25,169分别是相应正方形的面积,则字母B所代表的正方形的面积是()A.12B.13C.144D.194答案6.C【解析】由题图可知,在直角三角形中,斜边的平方为169,一直角边的平方为25,根据勾股定理,知另一直角边的平方为169-25=144,所以字母B所代表的正方形的面积是144.故选C.知识点2勾股定理与面积过基础·教材核心知识精练7.[2020江苏宿迁期中]如图,以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边AB=3,则图中阴影部分的面积为()A.9B.92C.94D.3答案7.B【解析】在Rt△AEC中,AE=EC,AC2=EC2+AE2,所以S△AEC=12AE·EC=12AE2=14AC2,同理可得,S△BCF=14BC2,S△ABD=14AB2.在Rt△ABC中,根据勾股定理,得AB2=AC2+BC2,因为AB=3,所以阴影部分的面积S=14(AC2+BC2+AB2)=12AB2=12×32=92.故选B.知识点2勾股定理与面积过基础·教材核心知识精练8.[2019贵州黔南州中考]如图,点E在正方形ABCD的边AB上,若EB=1,EC=2,则正方形ABCD的面积为.答案8.3【解析】因为四边形ABCD是正方形,所以∠B=90°,所以BC2=EC2-EB2=22-12=3,所以正方形ABCD的面积为BC2=3.知识点2勾股定理与面积过基础·教材核心知识精练9.如图,在四边形ABCD中,∠BAD=90°,∠CBD=90°,AD=4,AB=3,BC=12,求以DC为边的正方形DCEF的面积.答案9.【解析】在△ABD中,∠BAD=90°,所以AD2+AB2=DB2,所以42+32=DB2,所以DB=5.在△BCD中,∠CBD=90°,所以BD2+BC2=DC2,所以52+122=DC2,所以DC=13,所以S正方形DCEF=132=169.知识点2勾股定理与面积过能力能力强化提升训练过能力·能力强化提升训练1.易错题已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是()A.25B.14C.7D.7或25答案1.D【解析】由于给出的直角三角形的两边长分别为3和4,没有指明是直角边,因此分两种情况求解.(1)当第三边为斜边时,32+42=25;(2)当4为斜边长时,42-32=7.综上,第三边长的平方是7或25.故选D.2.C【解析】因为AB=AC,AD平分∠BAC,所以AD⊥BC,BD=DC=12BC=6.在Rt△ABD中,根据勾股定理,得AD2=AB2-BD2=102-62=82,所以AD=8.故选C.2.如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,AD平分∠BAC,则AD的长为()A.6B.7C.8D.9答案过能力·能力强化提升训练3.如图所示的图形是由直角三角形和正方形组成的,其中正方形A的面积为40,四个正方形中的8,x,10,y分别表示该正方形的面积,则x+y=.答案3.22【解析】根据题意,得x+8+(10+y)=S正方形A=40,所以x+y=40-18=22.4.14或4【解析】①当高AD在△ABC内部时,如图1,根据勾股定理,得BD2=152-122=81,CD2=132-122=25,所以BD=9,CD=5,所以BC=BD+CD=9+5=14;②当高AD在△ABC外部时,如图2,由①得BD=9,CD=5,所以BC=BD-CD=9-5=4.综合①②,得BC的长为14或4.4.易错题在△ABC中,AB=15,AC=13,BC边上的高AD=12,则BC的长为.答案图1图2过能力·能力强化提升训练5.如图,将长方形ABCD沿着AE折叠,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8,BC=10,求EC的长.答案5.【解析】依题意,得AD=AF=BC=10,DE=EF.在△ABF中,∠ABF=90°,所以BF2=AF2-AB2=102-82=62,所以BF=6,所以FC=10-6=4.设EC=x,则EF=DE=8-x.因为∠C=90°,所以EC2+FC2=EF2,所以x2+42=(8-x)2,解得x=3,所以EC=3.过能力·能力强化提升训练6.[2020江苏镇江期中]如图,在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,动点P从点A出发沿AC向点C运动,同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动,且到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回.点P,Q的运动速度均为每秒1个单位长度,当点P到达点C时,点P,Q同时停止运动,连接PQ,CQ,设它们的运动时间为t(t0)秒.(1)设△CBQ的面积为S,请用含有t的代数式来表示S;(2)线段PQ的垂直平分线记为直线l,当直线l经过点C时,求AQ的长.答案6.【解析】(1)在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,所以AC2=32+42=52,所以AC=5,所以0t≤5.当0t≤3时,BQ=t,BC=4,所以S=12×4×t=2t;当3t≤5时,AQ=t-3,则BQ=3-(t-3)=6-t,所以S=12×4×(6-t)=12-2t.综上,S=2𝑡(0𝑡≤3),12−2𝑡(3𝑡≤5).过能力·能力强化提升训练答案(2)如图,因为PQ的垂直平分线过点C,所以CP=CQ=5-t.在Rt△CBQ中,根据勾股定理,得BC2+BQ2=QC2,当0t≤3时,42+t2=(5-t)2,解得t=910;当3t≤5时,42+(6-t)2=(5-t)2,解得t=272,显然不成立,舍去.所以AQ=3-910=2110.过能力·能力强化提升训练7.在△ABC中,∠BAC=90°,分别以Rt△ABC的三边为直径作半圆.(1)若这三个半圆在BC的两侧(如图1所示),半圆的面积分别为S1,S2,S3,则S1,S2,S3之间有什么数量关系?请说明理由.(2)若这三个半圆在BC的同一侧(如图2所示),Rt△ABC的面积等于S3,两个“月牙”的面积分别为S1,S2,则S1,S2,S3之间有什么数量关系?请说明理由.答案7.【解析】(1)S1+S2=S3.理由如下:由题意,得S1=12π(𝐴𝐵2)2=18πAB2,S2=12π(𝐴𝐶2)2=18πAC2,S3=12π(𝐵𝐶2)2=18πBC2.在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB2+AC2=BC2,所以18πAB2+18πAC2=18πBC2,所以S1+S2=S3.过能力·能力强化提升训练答案(2)S1+S2=S3.理由如下:如图,由题意,得S1=12π(𝐴𝐵2)2-S4=18πAB2-S4,S2=12π(𝐴𝐶2)2-S5=18πAC2-S5,S3=12π(𝐵𝐶2)2-S4-S5=18πBC2-S4-S5.在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB2+AC2=BC2,所以18πAB2-S4+18πAC2-S5=18πBC2-S4-S5,所以S1+S2=S3.课时2验证并应用勾股定理课时2过基础教材核心知识精练过基础·教材核心知识精练1.曾任美国总统的伽菲尔德曾经给出了一种勾股定理的证明方法.如图.该图形整体上拼成了一个直角梯形,所以它的面积有两种表示方法,既可以表示为,又可以表示为.对比两种表示方法可得,化简,可得a2+b2=c2.答案1.12(a+b)212ab+12c2+12ab12(a+b)2=12ab+12c2+12ab知识点1验证勾股定理过基础·教材核心知识精练2.[2019安徽阜阳期末]用如图1所示的四个完全一样的直角三角形可以拼成如图2所示的大正方形.解答下列问题:(1)请用含a,b,c的代数式表示大正方形的面积.方法1:.方法2:.(2)根据图2及图形的面积关系,推导a,b,c之间满足的关系式.(3)利用(2)的关系式解答:如果大正方形的面积是25,且(a+b)2=49,求小正方形的面积.答案2.【解析】(1)(a-b)2+4×12abc2(2)由(1)可知,(a-b)2+4×12ab=c2,即a2+b2=c2.(3)由(2)知,a2+b2=c2.因为(a+b)2=a2+b2+2ab=c2+4×12ab=大正方形的面积+四个直角三角形的面积和=49,所以四个直角三角形的面积和为49-c2=49-25=24,所以小正方形的面积为25-24=1.知识点1验证勾股定理图1图2过基础·教材核心知识精练3.如图,韩彬同学从家(记作A)出发向北偏东30°的方向行走了4000m到达超市(记作B),然后再从超市出发向南偏东60°的方向行走3000m到达卢飞同学家(记作C),则韩彬家到卢飞家的距离为()A.2000mB.3000mC.4000mD.5000m答案3.D【解析】如图,连接AC.依题意,得∠ABC=90°,AB=4000m,BC=3000m,则由勾股定理,得AC2=AB2+BC2=40002+30002=50002,所以AC=5000m.故选D.知识点2勾股定理的简单应用过基础·教材核心知识精练4.[2020山东菏泽牡丹区期中]如图,有一架秋千,当它静止时,踏板离地的垂直高度DE=1m,将它往前推送6m(水平距离BC=6m)时,秋千的踏板离地的垂直高度BF=4m,秋千的绳索始终拉得很直,则绳索AD的长度为m.答案4.7.5【解析】设秋千的绳索长度为xm,则AB=AD=xm,AC=(x-3)m.在Rt△ACB中,根据勾股定理,得AC2+BC2=AB2,即(x-3)2+6