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分层练透教材，多重拓展培优第七章·平行线的证明数学·八年级上册·北师课时学习区专项素养拓训专项平行线的性质与判定专项答案1.C【解析】∵AB∥CD,∴∠1=∠BCD=20°.∵CD∥EF,∴∠2+∠DCE=180°,∴∠DCE=180°-60°=120°,∴∠BCE=∠BCD+∠DCE=20°+120°=140°.故选C.1.[2019山东枣庄峄城区期末]如图,若AB∥CD,CD∥EF,∠1=20°,∠2=60°,则∠BCE等于()A.80°B.120°C.140°D.160°类型1利用平行线的判定和性质进行推理、计算答案2.【解析】∵DA平分∠BDC,∴∠1=∠3.∵∠2=∠3,∴∠1=∠2=46°.∵CE⊥AE,∴∠E=90°.∵∠1+∠C=180°,∴AD∥EC,∴∠FAD=∠E=90°,∴∠4=90°-∠2=90°-46°=44°.2.[2020河北唐山期末]如图,点A,B分别在EF和DF上,且∠1+∠C=180°,∠2=∠3.若DA平分∠BDC,CE⊥AE,垂足为E,∠1=46°,求∠4的度数.类型1利用平行线的判定和性质进行推理、计算答案3.30°【解析】如图,过点C作CM∥AB,所以∠BCM=∠ABC=70°.因为AB∥DE,所以DE∥CM,所以∠DCM=∠180°-∠CDE=180°-140°=40°,所以∠BCD=∠BCM-∠DCM=70°-40°=30°.3.如图,已知AB∥DE,∠ABC=70°,∠CDE=140°,则∠BCD的度数为.类型2平行线中常见辅助线的作法答案4.【解析】如图,过点C作CM∥AB,过点D作DN∥AB.因为AB∥EF,所以AB∥CM∥DN∥EF.因为AB∥CM,∠ABC=30°,所以∠BCM=30°.因为BC⊥CD,所以∠BCD=90°,所以∠MCD=∠BCD-∠BCM=90°-30°=60°.因为CM∥DN,所以∠1=∠MCD=60°.因为DN∥EF,所以∠2=∠DEF=45°,所以∠CDE=∠1+∠2=60°+45°=105°.4.如图,AB∥EF,BC⊥CD于点C,∠ABC=30°,∠DEF=45°,求∠CDE的度数.类型2平行线中常见辅助线的作法答案5.【解析】(1)如图,过点C作CH∥AB,所以∠B+∠BCH=180°.因为∠B=135°,所以∠BCH=180°-135°=45°.因为AB∥DE,所以CH∥DE,所以∠HCD+∠D=180°.因为∠D=145°,所以∠HCD=180°-145°=35°,所以∠BCD=∠BCH+∠HCD=45°+35°=80°.(2)∠B+∠BCD+∠D=360°.理由如下:如图,由(1)知∠B+∠BCH=180°,∠HCD+∠D=180°,所以∠B+∠BCH+∠HCD+∠D=180°+180°=360°,即∠B+∠BCD+∠D=360°.(3)∠B+∠C+∠D+∠E=540°.5.(1)如图1,若AB∥DE,∠B=135°,∠D=145°,求∠BCD的度数;(2)如图1,在AB∥DE的条件下,你能得出∠B,∠BCD,∠D之间的数量关系吗?请说明理由.(3)如图2,AB∥EF,根据(2)中的结论,直接写出∠B+∠C+∠D+∠E的度数.类型2平行线中常见辅助线的作法图1图2答案6.【解析】(1)过点P作PH∥AB,∵AB∥CD,∴AB∥PH∥CD,∴∠PFD=∠NPH,∠AEM=∠HPM.∵∠MPN=∠NPH+∠HPM=90°,∴∠PFD+∠AEM=90°.(2)设PN交AB于点H.∵AB∥CD,∴∠PFD=∠PHB.∵∠PHB-∠PEB=90°,∠PEB=∠AEM.∴∠PFD-∠AEM=90°.(3)由(2)得,∠PFD=90°+∠PEB=120°,∴∠N=180°-∠PFD-∠DON=40°.6.[2019河南驻马店模拟]如图,已知AB∥CD,现将一直角三角形PMN放入图中,其中∠P=90°,PM交AB于点E,PN交CD于点F.(1)当△PMN在如图1所示的位置时,求出∠PFD与∠AEM的数量关系.(2)当△PMN在如图2所示的位置时,求证:∠PFD-∠AEM=90°.(3)在(2)的条件下,若MN与CD交于点O,且∠DON=20°,∠PEB=30°,求∠N的度数.类型3平行线与三角形内角和定理及推论的综合图1图2综合素养拓训素养解读本章结合具体实例,帮助学生认识并体验推理的重要性,培养推理及探究的能力.如第1题和第3题,借助三角形内角和定理、外角的性质,进行相关角度的相互转化及大小关系的探究;第2题,借助点的位置变化,酝酿与构建相关角度之间的内在关系的推理与发现.逻辑推理是必备的数学素养,培养逻辑推理素养,有助于在引用定义、定理进行论证时,清晰、简明地表述自己的思想和观点,进而完成连续而有节奏的逻辑推理与探究.答案1.【解析】∠ACB的大小不变.理由如下:因为AC平分∠OAB(已知),所以∠BAC=12∠OAB(角平分线的定义).因为BC平分∠OBD(已知),所以∠CBD=12∠OBD(角平分线的定义).因为∠OBD=∠AOB+∠OAB(三角形的外角性质),∠CBD=∠ACB+∠BAC(三角形的外角性质),所以∠ACB=∠CBD-∠BAC=12∠OBD-12∠OAB=12(∠AOB+∠OAB)-12∠OAB=12∠AOB=12×90°=45°.所以随着点A,B的移动,∠ACB的大小始终不变,是45°.1.[与三角形内角、外角有关的动态探究]如图,已知∠MON=90°,点A,B分别在射线OM,ON上移动,∠OAB的平分线与△OAB的外角∠OBD的平分线所在的直线交于点C.试猜想:随着点A,B的移动,∠ACB的大小是否变化?并说明理由.答案2.【解析】(1)因为AB∥CD,所以∠AEF+∠MFN=180°.因为∠MFN+∠FMN+∠FNM=180°,所以∠FMN+∠FNM=∠AEF.(2)∠FMN+∠FNM+∠AEF=180°.理由如下:因为AB∥CD,所以∠AEF=∠MFN.因为∠MFN+∠FMN+∠FNM=180°,所以∠FMN+∠FNM+∠AEF=180°.2.[探究运动过程中角度之间的关系]如图,AB∥CD,直线l分别交AB,CD于点E,F,点M在EF上,点N是直线CD上的一个动点(点N不与点F重合).(1)当点N在射线FC上运动时,试证明∠FMN+∠FNM=∠AEF;(2)当点N在射线FD上运动时,∠FMN+∠FNM与∠AEF有什么关系?请说明理由.3.[利用三角形内角、外角进行猜想、证明]我们把如图1所示的图形称为“8字形”.在图1中,∠A+∠B=∠C+∠D.(1)如图2,AP,CP分别平分∠BAD,∠BCD,若∠B=36°,∠D=16°,求∠P的度数;(2)如图3,射线PA平分△ABO的外角∠FAD,CP平分△OCD的外角∠BCE,若∠B=36°,∠D=16°,请猜想∠P的度数,并说明理由;(3)在图4中,AP平分∠BAD,CP平分△OCD的外角∠BCE,猜想∠P与∠B,∠D的关系,并说明理由.图1图2图3图4答案3.【解析】(1)如图1,∵AP,CP分别平分∠BAD,∠BCD,∴∠1=∠2,∠3=∠4,由已知,得∠P+∠3=∠2+∠B,①∠P+∠1=∠4+∠D,②①+②,得2∠P+∠1+∠3=∠2+∠4+∠B+∠D,∴∠P=12(∠B+∠D)=12×(36°+16°)=26°.(2)∠P=26°.理由如下:如图2,∵射线PA平分△ABO的外角∠FAD,CP平分△OCD的外角∠BCE,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∠PAD=180°-∠2,∠PCD=180°-∠3,易得∠P+(180°-∠2)=∠D+(180°-∠3),∠P+∠1=∠B+∠4,∴2∠P=∠B+∠D,∴∠P=12(∠B+∠D)=12×(36°+16°)=26°.(3)∠P=90°+12(∠B+∠D).理由如下:如图3,∵AP平分∠BAD,CP平分△OCD的外角∠BCE,∴∠1=∠2,∠3=∠4,易得(∠1+∠2)+∠B=(180°-2∠3)+∠D,③∠1+∠P=(180°-∠3)+∠D,④④×2-③,得2∠P=180°+∠D+∠B,∴∠P=90°+12(∠B+∠D).图3图2图1答案1.B【解析】反例要满足题设成立,但是结论不成立.当a=-3,b=2时,a2=(-3)2=9,b2=22=4,满足a2b2,但是ab,故该命题是假命题.故选B.一、选择题1.对于命题“若a2b2,则ab.”下面四组关于a,b的值中,能说明这个命题是假命题的是()A.a=3,b=2B.a=-3,b=2C.a=3,b=-1D.a=-1,b=3答案2.B【解析】∵BE⊥AF,∠BED=40°,∴∠AED=130°.∵AB∥CD,∴∠A+∠AED=180°,∴∠A=50°.故选B.2.[2019湖南衡阳中考]如图,已知AB∥CD,AF交CD于点E,且BE⊥AF,∠BED=40°,则∠A的度数是()A.40°B.50°C.80°D.90°答案3.C【解析】在△BCD中,∠BDC=80°,∠C=70°,∴∠DBC=180°-∠BDC-∠C=180°-80°-70°=30°.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC=30°.∵∠ADB=60°,∴∠A=180°-30°-60°=90°,∴△ABD是直角三角形.故选C.3.如图,BD平分∠ABC,∠ADB=60°,∠BDC=80°,∠C=70°,则△ABD的形状是()A.等边三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形答案4.D【解析】如图,延长DC.∵AB∥DC,∴∠3=∠1=65°,∴∠ACF=∠3=65°,∴∠2=180°-2×65°=50°.故选D.4.如图,将对边平行的纸带按如图所示的方式进行折叠,若∠1=65°,则∠2的大小为()A.115°B.65°C.55°D.50°答案5.C【解析】如图,∵∠ANM=∠1=55°,∴∠3=∠A+∠ANM=60°+55°=115°.∵a∥b,∴∠2=∠3=115°.故选C.5.已知直线a∥b,一块含60°角的直角三角板ABC(∠A=60°)按如图所示放置,若∠1=55°,则∠2的度数为()A.105°B.110°C.115°D.120°答案6.A【解析】由题意知DE∥AF,∴∠AFD=∠CDE=40°.∵∠B=30°,∴∠BAF=∠AFD-∠B=40°-30°=10°.故选A.6.[2018海南中考]将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置,如果∠CDE=40°,那么∠BAF的大小为()A.10°B.15°C.20°D.25°答案7.B【解析】如图,过点C作CF∥AB,∴∠BCF=∠B=25°.∵AB∥DE,CF∥AB,∴CF∥DE,∴∠FCE=∠E=180°-90°-∠D=32°,∴∠BCE=∠BCF+∠FCE=25°+32°=57°.故选B.7.[2019辽宁朝阳中考]把Rt△ABC与Rt△CDE放在同一水平桌面上,摆放成如图所示的形状,使两个直角顶点重合,两条斜边平行,若∠B=25°,∠D=58°,则∠BCE的度数是()A.83°B.57°C.54°D.33°答案8.B【解析】∵∠A=52°,∴∠ABC+∠ACB=180°-52°=128°,又∵∠ABC与∠ACB的平分线交于D1,∴∠ABD1=∠CBD1=12∠ABC,∠ACD1=∠BCD1=12∠ACB,∴∠BD1C=180°-12(∠ABC+∠ACB)=180°-64°=116°,同理得∠BD2C=180°-34(∠ABC+∠ACB)=180°-96°=84°,依此类推,得∠BDnC=180°-2𝑛−12𝑛(∠ABC+∠ACB),∴∠BD5C=180°-3132×128°=56°.故选B.8.如图,在△ABC中,∠A=52°,∠ABC与∠ACB的平分线交于点D1,∠ABD1与∠ACD1的平分线交于点D2,依次类推,∠ABD4与∠ACD4的平分线交于点D5,则∠BD5C的度数是()A.60°B.56°C.94°D.68°答案9.AB平行于同一条直线的两条直线平行二、填空题9.如图,直线